【大学数学】群・環・体とは②

1．はじめに

群・環・体とは、数を一般化したものです。今回は、その中の群について定義と具体例を紹介します。

2．群の定義

以下が、群の定義です。

群は、集合と演算をセットで考えます。簡単に説明すると、群は加法・減法について閉じている集合です。定義からは1つの演算のみに見えますが、逆元の存在から減法も考えられます。

アーベル群は、整数を一般化したものと考えるとわかりやすいです。整数は、加法について閉じています（整数1、2に対して、1+2=3は整数）。さらに、結合法則、交換法則が成り立ち、単位元は0、xの逆元は-xです。

詳しく、具体例を見ていきましょう。

3．群の具体例（数について）

数を表すのに、以下の記号を使います。

上で説明した整数が加法についてアーベル群をなすことを示してみましょう。

同様に、有理数、実数、複素数も加法についてアーベル群をなします。

あれ…？数といえば、自然数は？と思った方は鋭いですね。しかし、自然数は、群ではありません。

自然数では、逆元が存在しないのですね。

おもしろいことに、加法だけでなく、乗法についても群をなします。考えてみましょう。例えば、整数では、乗法について閉じています（整数2、3に対して、2×3=6は整数）。さらに、交換法則も成り立ちますよね。単位元は1ですね。しかし、、、、、

整数は、乗法については逆元が存在しないですね。そのため、群をなしません。

ということは、逆元が存在する有理数・実数・複素数なら、群をなしそうですね。しかし、、、、、

乗法については、0の逆元が存在しませんよね。そのため、0を除いて考えればよいのです。

無事、有理数が乗法についてもアーベル群をなすことが示せました。同様に、実数、複素数も示せます。

今まで見てきた中で群をなす場合、すべてアーベル群でした。交換法則が成り立つためですね。では、交換法則が成り立たない、非アーベル群は存在するのでしょうか？

4．群の具体例（数以外について）

非アーベル群、あります。乗法について、交換法則が成り立たないもの。行列です！なんと、数じゃない。群は数を一般化したものですので、数以外のもっと広い世界で考えることができるのです。

ただし、一般の行列では、乗法について定義できない（2×3行列と2×3行列はかけることができない）ので、群をなしません。また、det=0の行列は逆元が存在しないので、これもダメです。そのため、それらを回避できる正則行列であれば、群をなすことができます。

また、よく例に挙げられる、det=1の行列についても紹介します。

また、写像についても、合成を演算として考えれば、群をなします。

さらに、これを特殊化して、置換が考えられます。

例えば、{1，2，3}という集合に対して、1→2に、2→3に、3→1に置換するなどが考えられます。

また、よく例に挙げられる符号が1である置換も紹介します。

このように、群は数以外の行列や写像などでも考えることができるのです。

5．おわりに

群の定義と具体例を見ました。群は、整数を一般化したものです。一般化って、物事の本質だけを切り取っている、すごいことだと思っています。初めて群を学んだとき、今までの常識が覆された気分でした。数以外のものも、数と同じように考えられる感じが。群として一般化した人、すごいです。

次回は、環の定義と具体例を紹介します。