【高校数学】反復試行の確率

1．はじめに

細かいところまで思考する。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これが数学で大切なことです。数学が苦手という人は、これができていない可能性が高いです。反復試行の確率の問題を通して、確認してみましょう。

まずは、次の問題を解いてみてください。

さいころを4回投げる反復試行の確率ですね。

正解は、

です。

ある試行をn回行うとき、確率は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1回目の確率)×(2回目の確率)×・・・×(n回目の確率)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　で求められる。

1回ごとに確率を考えて、それらをかけるだけです。

2．反復試行の確率の問題

では、本題です。次の問題を解いてみてください。

再び、さいころを4回投げる反復試行の確率です。
1の目が2回出るから、

と考えた人は、甘い！！！　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　なぜ、甘いのか。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これを考えることが、反復試行の問題で大切なポイント①です。

3．ポイント①

4回投げるのだから、残りの2回分のことも考えてください。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1の目は2回だけ出るから、残りの2回分は、1以外の目が出ればよいですね。　ということは、

ポイント①　問題文に書かれていない残りの回数分の確率も考えること

これが細かいところまで思考するということです。

ちなみに、公式にある"1-p"は残りの回数分のうち1回分の確率です。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　上の問題でいうと、1の目が出る確率は、1/6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　そうでない、1以外の目が出る確率は、1-1/6=5/6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ということです。

じゃあ、初めの問題と同じじゃん。。。と考えた人は、甘い！！！　　　　　　　　　　　　　なぜ、甘いのか。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　これを考えることが、反復試行の問題で大切なポイント②です。

4．ポイント②

1の目がちょうど2回出るって言われているだけで、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1、2回目が1の目というわけではないですよね。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1、3回目が1の目だって、3、4回目が1の目だっていいわけです。　　　　　　　　　　　　　　　　他にもいろんなパターンがありますね。

　1、2回目、1、3回目、1、4回目、2、3回目、2、4回目、3、4回目

の6パターンあります。なので、

の式に6をかければ、めでたしめでたし。

ポイント②　何回目に出るか不明なときは、何パターンあるのか考えること

これも細かいところまで思考するということですね。

だけど、パターンを数えるのは少し大変。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　例えば、10回投げるうち、1の目がちょうど4回出るという問題だったら、　何パターンあるんだ？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　なんと、210パターンですよ。数えてるだけで、日が暮れます。

いちいち数える以外方法はないのか、、、

10回のうち4回、4回のうち2回、、、あ！コンビネーションだ！　　　　　　　　　　　　10C4(通り)、4C2(通り)ですね。

異なるn個のもののうち異なるr個を取り出して作る組合せを　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　nCr　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　で表す。(計算の仕方は省略します)

ということは、直接パターンを数えて6をかけてもいいですが、　　　　　　　　　　　機械的に4C2をかけてもいいですね。

ということで、

の問題の解答は、

が正解です。

ちなみに、公式に出てくるnCrはこの何パターンあるのか、のことです。

5．おわりに

では、反復試行の確率のまとめです。

ある試行をn回行うとき、確率は　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1回目の確率)×(2回目の確率)×・・・×(n回目の確率)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　で求められる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ポイント①　問題文に書かれていない残りの回数分の確率も考えること　　ポイント②　何回目に出るか不明なときは、何パターンあるのか考えること(nCrパターン)

このポイントのように、細かいところまで思考できれば、反復試行の確率はマスターできます。そして、こういう思考が数学のおもしろさの1つだと思います。数学で大切なことは、

細かいところまで思考する。