同一視

中学校の生徒全員を集めたら、そこには１年生、２年生、３年生と学年ごとに分類できる。また、生徒の人数が多い学校だと、１年生でもさらに細かく１組、２組、･･･、ｎ組と分類できる。分類の仕方だけでいえば、男子生徒と女子生徒の２分割も考えられる。

このように生徒全員から、いろいろな分類の仕方が考えられます。

例えば生徒全員を学年ごとに３つに分類するというのを考えると、生徒全員の集合をＳとして、Ｓを３つの互いに交わりのない集合Ａ，Ｂ，Ｃの和集合で書き表すことになります。ここでＡは１年生の集合、Ｂは２年生の集合、Ｃは３年生の集合としました。
　Ｓ＝Ａ∪Ｂ∪Ｃ，Ａ∩Ｂ＝Ｂ∩Ｃ＝Ｃ∩Ａ＝Φ
ただし、Φは空集合｛｝を表しています。

一般には、集合Ｘが与えられたとき、Ｘをいくつかの互いに交わりのないＸの部分集合の和集合で表すとき、Ｘを分割するといいます。あるいは、それらの部分集合の全体をＸの分割といいます。

なお、互いに共通部分のない和集合を⊔という記号で書くこともあります。英語では”disjoint union”と言われます。上のＳの例では、単に
　Ｓ＝Ａ⊔Ｂ⊔Ｃ
と書けば、自動的に後半の条件
　Ａ∩Ｂ＝Ｂ∩Ｃ＝Ｃ∩Ａ＝Φ
を満たしているという意味です。

ところでＸの分割があると、自然にこれらの部分集合を元とする集合が考えられます。上のＳの例でいえば集合｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝を考えるということです。Ａ，Ｂ，Ｃはもはや１年生、２年生、３年生というくらいの意味でしかなく、生徒一人ひとりについての情報は落ちています。

さて、この分割を使って、次にようなＸの上の２項関係～を定めます：
ａ～ｂ　⇔　ａとｂはＸの分割の同じ要素に属する

例えば、１年生のａ君，ｂさんは同じ１年生の集合Ａに属するからａ～ｂである。しかし１年生のａ君と、２年生のｃ君はそれぞれお互い違う集合のメンバーであるから、ａ～ｃではない。

このＸの上の２項関係～は
（１）反射律：ａ～ａ
（２）対称律：ａ～ｂ　⇒　ｂ～ａ
（３）推移律：ａ～ｂ，ｂ～ｃ　⇒　ａ～ｃ
を満たすので、同値関係になっています。

逆に、Ｘが集合で、Ｘの上の同値関係～が与えられたとすると、各元ｘについて、ｘの同値類と呼ばれる集合[ｘ]を次のように定めよう：
[ｘ]＝｛ａ｜ａはＸの元で、ａ～ｘを満たす｝
これは、ｘと関係～を持つような元すべての集合ということです。

こうすると、いくつか重複するかもしれないが重複を除けば、このようないくつかの同値類たちによって、Ｘは分割される：
　Ｘ＝[ｘ]⊔[ｙ]⊔･･･
いくつかの同値類が重複がなく、しかもＸをもれなくカバーしたとき、それら同値類を作る元の集合｛ｘ，ｙ，･･･｝を、Ｘの同値関係～による完全代表系といわれます。

例えば、再び生徒全員の集合Ｓの例でいえば、１年生の集合Ａの中から誰か１人を指定することは、１年生の学年代表を１人指定するようなもので、それをａ君としよう。２年生Ｂからは２年生代表ｂさん、３年生Ｃからは３年生代表ｃ君を選べば、｛ａ，ｂ，ｃ｝がＳの同学年の関係による完全代表系を与える。もちろん、完全代表系｛ａ，ｂ，ｃ｝以外にもいろいろ取り方が考えられる。

このように、Ｘの分割を１つ与えるとそれに応じてＸの同値関係～が１つ定まり、Ｘの同値関係～を１つ与えるとそれに応じてＸの分割を１つ定める。

そして、両者は互いに１対１に対応している。

従って、両者はこの１対１対応を通して同一の概念だということになります。

特に、Ｘ上の同値関係～から構成したＸの分割を、Ｘの同値関係～による商集合（しょうしゅうごう）、あるいは、Ｘを同値関係～で割った集合、などと言われ、その集合をＸ／～と書かれることがあります。

例えば、さきほどの例で生徒全員の集合Ｓの上に、同学年による関係～を定義すればＳの～による商集合Ｓ／～は｛Ａ，Ｂ，Ｃ｝に他なりません。

こうして、商集合Ｘ／～は、Ｘの元を同値関係～によって同一視したものと解釈される訳です。