整数を作る物語（２）

※前回の記事『整数を作る物語』の続きになります。

我々の知っている整数の世界には加法、減法、乗法が自由でできて、どんな２つの整数ａ，ｂを持ってきても、
　加法：組（ａ，ｂ）を和と呼ばれるａ＋ｂに対応させる写像
　減法：組（ａ，ｂ）を差と呼ばれるａーｂに対応させる写像
　乗法：組（ａ，ｂ）を積と呼ばれるａ・ｂに対応させる写像
が定義されている。

積ａ・ｂは
　ａ×ｂ
や単に
　ａｂ
と書くこともある。

前回は整数の世界を自然数の集合Ｎから構成し、そこに加法・減法について定義してきた。それは自然数の集合Ｎに加法の単位元０を付け加えた集合Ｎ’＝Ｎ∪｛０｝を使って、直積集合Ｎ’×Ｎ’の上の同値関係～：
　（ａ，ｂ）～（ａ’，ｂ’）　⇔　ａ＋ｂ’＝ａ’＋ｂ
による商集合Ｚ＝Ｎ’／～を構成し、この中で加法や減法は次のように定義されている：
　［ａ，ｂ］＋［ａ’，ｂ’］＝［ａ＋ａ’，ｂ＋ｂ’］
　［ａ，ｂ］ー［ａ’，ｂ’］＝［ａ，ｂ］＋［ｂ’，ａ’］
ここで、［ａ，ｂ］は（ａ，ｂ）の同値類を表している。

では、Ｚの乗法（・）はどのようにして定義されるべきだろう。よく知っている整数の世界ときちんと対応がつくように構成しよう。

１．乗法の定義

結論からすれば、実は次のように定義すればよい：
　［ａ，ｂ］・［ａ’，ｂ’］＝［ａａ’＋ｂｂ’，ａｂ’＋ａ’ｂ］

この乗法の定義が代表元の取り方によらずに決まることを確かめなければならない。代表元によらずに定義されたとき、その定義はwell-defiendと言われる。日本語で訳せば「うまく定義されている」であるが、公式な訳語は見たことがない。

ではwell-defiendであることを証明してみよう。特に気にしなければ、証明は飛ばしていただいて構わない。

２．well-definedの確認

［ａ，ｂ］＝［ｃ，ｄ］，［ａ’，ｂ’］＝［ｃ’，ｄ’］のとき、
　ａ＋ｄ＝ｂ＋ｃ　　　･･･（１）
　ａ’＋ｄ’＝ｂ’＋ｃ’　　･･･（２）

このとき、
　［ａａ’＋ｂｂ’，ａｂ’＋ａ’ｂ］＝［ｃｃ’＋ｄｄ’，ｃｄ’＋ｃ’ｄ］
即ち、
　ａａ’＋ｂｂ’＋ｃｄ’＋ｃ’ｄ＝ａｂ’＋ａ’ｂ＋ｃｃ’＋ｄｄ’　･･･（♠）
が成り立つことを示したい。

（１）の両辺にａ’，ｂ’，ｃ’，ｄ’をそれぞれ乗じ，（２）の両辺にａ，ｂ，ｃ，ｄをそれぞれ乗じて得られる８つの等式を書きだそう。

　ａ’（ａ＋ｄ）＝ａ’（ｂ＋ｃ）
　ｂ’（ａ＋ｄ）＝ｂ’（ｂ＋ｃ）
　ｃ’（ａ＋ｄ）＝ｃ’（ｂ＋ｃ）
　ｄ’（ａ＋ｄ）＝ｄ’（ｂ＋ｃ）
　ａ（ａ’＋ｄ’）＝ａ（ｂ’＋ｃ’）
　ｂ（ａ’＋ｄ’）＝ｂ（ｂ’＋ｃ’）
　ｃ（ａ’＋ｄ’）＝ｃ（ｂ’＋ｃ’）
　ｄ（ａ’＋ｄ’）＝ｄ（ｂ’＋ｃ’）

Ｎ’では乗法の加法に対する分配法則が成り立つから、これらを展開すると、

　ａ’ａ＋ａ’ｄ＝ａ’ｂ＋ａ’ｃ
　ｂ’ａ＋ｂ’ｄ＝ｂ’ｂ＋ｂ’ｃ
　ｃ’ａ＋ｃ’ｄ＝ｃ’ｂ＋ｃ’ｃ
　ｄ’ａ＋ｄ’ｄ＝ｄ’ｂ＋ｄ’ｃ
　ａａ’＋ａｄ’＝ａｂ’＋ａｃ’
　ｂａ’＋ｂｄ’＝ｂｂ’＋ｂｃ’
　ｃａ’＋ｃｄ’＝ｃｂ’＋ｃｃ’
　ｄａ’＋ｄｄ’＝ｄｂ’＋ｄｃ’

という等式が得られる。これらの等式で、太文字にした部分は、目的の等式（♠）の左辺に現れる項である。太文字の場所は左辺と右辺をジグザグに現れている。そこで、太文字のある辺同士を加えていって得られる式を左辺に、太文字でない方の辺同士で加えていって得られる式を右辺として等式を見てみると、

　左辺＝ａ’ａ＋ａ’ｄ
　　　　＋ｂ’ｂ＋ｂ’ｃ
　　　　＋ｃ’ａ＋ｃ’ｄ
　　　　＋ｄ’ｂ＋ｄ’ｃ
　　　　＋ａａ’＋ａｄ’
　　　　＋ｂｂ’＋ｂｃ’
　　　　＋ｃａ’＋ｃｄ’
　　　　＋ｄｂ’＋ｄｃ’

　右辺＝ａ’ｂ＋ａ’ｃ
　　　　＋ｂ’ａ＋ｂ’ｄ
　　　　＋ｃ’ｂ＋ｃ’ｃ
　　　　＋ｄ’ａ＋ｄ’ｄ
　　　　＋ａｂ’＋ａｃ’
　　　　＋ｂａ’＋ｂｄ’
　　　　＋ｃｂ’＋ｃｃ’
　　　　＋ｄａ’＋ｄｄ’

この式の右辺もわかりやすくするために（♠）の右辺に現れる項を太文字にした。

さて、この式を眺めると、左辺も右辺も（♠）に現れた項が２つずつ表れたものと、それ以外の項の和で構成されている。

（♠）の左辺をＡ，（♠）の右辺をＢとおき、上の左辺と右辺の「それ以外の項の和」をまとめて、それぞれＳ，Ｔとおき、さらに左辺＝右辺を書けば、　
　２Ａ＋Ｓ＝２Ｂ＋Ｔ
ということになる。

しかしよくみると、ＳおよびＴの項の集合をみると、
　Ｓ：｛ａ’ｄ，ｂ’ｃ，ｃ’ａ，ｄ’ｂ，ａｄ’，ｂｃ’，ｃａ’，ｄｂ’｝
　Ｔ：｛ａ’ｃ，ｂ’ｄ，ｃ’ｂ，ｄ’ａ，ａｃ’，ｂｄ’，ｃｂ’，ｄａ’｝
　　＝｛ｄａ’，ｃｂ’，ａｃ’，ｂｄ’，ｄ’ａ，ｃ’ｂ，ｃａ’，ｂ’ｄ｝
　　＝Ｓ
（乗法は交換可能である）

よって、Ｓ＝Ｔである。従って、
　２Ａ＝２Ｂ
これより、
　Ａ＝Ｂ
である（注意１）。これが示すべき等式であった。

（注意１：一般に写像
　Ｎ’→Ｎ’
　ｘ→ｘ＋ｘ＝２ｘ
は単射である。その証明はほぼ明らかだろう。）

３．乗法の意味

Ｚの乗法が代表元の取り方によらずに矛盾なく定義されることがわかった。このようなＺの乗法の定義は何やら不自然さがあるだろう。その感覚は整数の乗法を構成しようという立場から見たら、突然天下り的に定められているからである。つまり、整数の世界の構成の中でごく自然に現れたシロモノではなく、整数の乗法を”知っている”立場から見たときに、このように定義している。乗法を”知っている世界”から写し取る、ということをしている。しかしながら、その知っている整数の世界（特に乗法）を具現化するには、このように定義することで結果的にうまくいくことが確認される。

ところで本当にその”知っている整数”になっているかを確認するには、Ｚにおける加法や乗法と、知っている整数における加法や乗法との間に、加法および乗法を両方とも保つような同型写像を見出せばよい。

しかしながら、まずは上の乗法が何をやっているのかを眺めることで、その意味合いを掴むことにしよう。

Ｚの任意の元は代表元をうまくとって、
　［ｘ，０］，［０，ｘ］
という２つの型で書けるのであった。ここでｘは０または自然数（つまりＮ’の元）である。これらは順にｘ≠０なら正の数、負の数である。

これらで上の乗法で計算すると、次の４つのパターンになる：

　［ｘ，０］・［ｙ，０］＝［ｘｙ，０］
　［ｘ，０］・［０，ｙ］＝［０，ｘｙ］
　［０，ｘ］・［ｙ，０］＝［０，ｘｙ］
　［０，ｘ］・［０，ｙ］＝［ｘｙ，０］

さて、ｘ＝０の場合はこれらの積は一律
　［０，０］＝０
であるから、我々の知っている整数の乗法の結果と一致するのはよいだろう。（０倍は常に０になるのだった。）

次に、ｘ≠０の場合、これらの元は
　［ｘ，０］＝ｘ
は正の数、
　［０，ｘ］＝－ｘ
は負の数であるから、これらの積が表しているのは、

　（正の数）×（正の数）＝（正の数）
　（正の数）×（負の数）＝（負の数）
　（負の数）×（正の数）＝（負の数）
　（負の数）×（負の数）＝（正の数）

で、値はそれぞれ数値部分のみ積をとったものに等しい。従って、この場合も我々のよく知っている整数の乗法の結果と一致する。

４．知っている整数の世界との同型写像

では、”知っている整数”をＺ’とおき、ＺからＺ’への同型写像を見つけよう。

まず、写像
　ｆ：Ｎ’×Ｎ’→Ｚ’，（ａ，ｂ）→ａーｂ
に対して、ｆの値で一致するもので定める２項関係は、同値関係～に他ならない：
　ａ≧０，ｂ≧０に対して
　　（ａ，ｂ）～（ａ’，ｂ’）　⇔　ａ＋ｂ’＝ａ’＋ｂ　（Ｎ’において）
　　　　　　　　　　　　　　⇔　ａ＋ｂ’＝ａ’＋ｂ　（Ｚ’において）
　　　　　　　　　　　　　　⇔　ａーｂ＝ａ’－ｂ’　（Ｚ’において）
　　　　　　　　　　　　　　⇔　ｆ(ａ，ｂ)＝ｆ(ａ’，ｂ’)

従って、（⇒）のことから、～による同値類の代表元の取り方によらず、ｆでの値は一定である。これは、写像
　ｇ：Z→Z’，［ａ，ｂ］→ｆ(ａ，ｂ)＝ａーｂ
を引き起こすことを言っているが、さらに（⇐）のことからｆで一致する２元は互いに同値であるから、このｇは単射である。

そしてｆは明らかに全射であるから、自動的にｇも全射で、従ってｇは全単射である。

次に、Ｎ’×Ｎ’に次のような加法（＋）、乗法（・）を定義する：
　加法：（ａ，ｂ）＋（ａ’，ｂ’）＝（ａ＋ａ’，ｂ＋ｂ’）
　乗法：（ａ，ｂ）・（ａ’，ｂ’）＝（ａａ’＋ｂｂ’，ａｂ’＋ａ’ｂ）

このように定義されたＮ’×Ｎ’は加法についても、乗法についても写像ｆと両立する。即ち、
　ｆ(（ａ，ｂ）＋（ａ’，ｂ’）)＝ｆ(ａ，ｂ)＋ｆ(ａ’，ｂ’)
　ｆ(（ａ，ｂ）・（ａ’，ｂ’）)＝ｆ(ａ，ｂ)・ｆ(ａ’，ｂ’)
が成り立つ。

加法については、
　ｆ(（ａ，ｂ）＋（ａ’，ｂ’）)＝ｆ(ａ＋ａ’，ｂ＋ｂ’)
　　　　　　　　　　　　　　＝（ａ＋ａ’）－（ｂ＋ｂ’）
　ｆ(ａ，ｂ)＋ｆ(ａ’，ｂ’)＝（ａーｂ）＋（ａ’－ｂ’）
　　　　　　　　　　　　＝（ａ＋ａ’）ー（ｂ＋ｂ’）
で一致する。

乗法については、
　ｆ(（ａ，ｂ）・（ａ’，ｂ’）)＝ｆ(ａａ’＋ｂｂ’，ａｂ’＋ａ’ｂ)
　　　　　　　　　　　　　　＝ａａ’＋ｂｂ’－（ａｂ’＋ａ’ｂ）
　ｆ(ａ，ｂ)・ｆ(ａ’，ｂ’)＝（ａーｂ）（ａ’－ｂ’）
　　　　　　　　　　　＝ａａ’－ａｂ’－ａ’ｂ＋ｂｂ’
　　　　　　　　　　　＝ａａ’＋ｂｂ’－（ａｂ’＋ａ’ｂ）
で一致する。

従って写像ｇ：Ｚ→Ｚ’は加法、乗法について準同型であること：
　・ｇ(［ａ，ｂ］＋［ａ’，ｂ’］)＝ｇ(［ａ，ｂ］)＋ｇ(［ａ’，ｂ’］)
　・ｇ(［ａ，ｂ］・［ａ’，ｂ’］)＝ｇ(［ａ，ｂ］)・ｇ(［ａ’，ｂ’］)
が自動的に従う。

以上で、ｇ：Ｚ→Ｚ’は同型写像である。

つまり我々の構成した整数（Ｚ，＋，・）と知っている整数（Ｚ’，＋，・）はその演算の構造も含めてｇを通して１対１に対応していることがわかった。

５．「作る」ということ

もともと知っている整数の世界は、自然数の世界から減法の自由が利くようにした理想の産物にあった。しかし、自然数から出発して、新しい集合を作り、その中に演算を定義して構成したきたものは、一連の数学的な手続きを経て構築されている。その意味では創造した世界となる。創造した世界と想像した世界が同型対応したのだった。

このように「作る」とは想像物を実体化させる作業である。

しかしもとを溯っていけば、そもそも自然数はどこから来たのか、集合はどこから来たのか、といった疑問もある。何を認め、どんな数学的手続きで、どうやって構成するのかという話になる。何かを認めない限り生まれない。そして何を原理として出発するかは悩ましい。しかしそのことは「作る」ことを意欲的に刺激する。

６．参考文献

今回、このテーマを思い付きで書き始めたのですが、意外と長い話になってしまいました。私の冗長さが如実に現れていることでしょう。ひとまずこれで整数の構成の話は終わりになります。今回も以下の参考文献を参考にしています。Ｚの乗法のwell-definedについては証明が割愛されていたため、私なりに補完したものです。もっと「軽い証明」があったかもしれません。

参考文献：『環と加群』山崎圭次郎，岩波基礎数学選書