関係

「Ａ君とＢ君は友達の仲である」とか、「実数ａをａ＋１に対応させる」など、２つの対象の間に何かしら関係を見出すことがあります。函数（写像）よりも広い概念になります。函数はインプットからアウトプットへの方向性がありますが、一般の関係の場合はそれを考えません。

さて、注目している２対象の集合をそれぞれＸとＹとしよう。特にＸ＝Ｙであってもよい。この２対象の間にある関係という状況を形式的に表してみよう。

集合Ｘの元ｘと、集合Ｙの元ｙについて、”ｘはｙと関係Ｒがある”という主張を
ｘＲｙ
と書くことにしよう。ＲをＸとＹの上の関係という。もしくは、２つの元から成るので２項関係とも呼ばれる。また、Ｘ＝Ｙの場合は単に、Ｘの上の関係という。恋のもつれで現れる三角関係については３項関係となりますが、ここでは陽には定式化しません。（なお、Ｒは”Relation”の頭文字から取っています。）

たとえば自然数すべての集合Ｎには通常の意味での大小関係があって、２つの自然数ｘ，ｙについて、”ｘはｙより大きい”という関係は、
ｘ＞ｙ
と書かれるのであった。

他の例では、集合Ａを固定したとき、Ａの部分集合すべての集合をＰとする。Ｐにおける元というのは、Ａの部分集合のことである。２つのＡの部分集合ｘとｙについて、”ｘはｙに含まれる”という関係は、
ｘ⊂ｙ
と書かれるのであった。

話を一般の集合Ｘ，Ｙに戻そう。ＸとＹの上に関係Ｒが与えられているとする。

ｘＲｙであるような元ｘと元ｙのペア（ｘ，ｙ）の全体というのは、Ｘの元とＹの元のペア（ｘ，ｙ）のすべてから成る集合――これをＸとＹの直積集合といい、記号でＸ×Ｙと書く――の部分集合Ｓを指定する。

逆にＸ×Ｙの部分集合Ｓが与えられたら、その元（ｘ，ｙ）のことを”ｘとｙは関係Ｒをもつ”と定義すれば、ＸとＹの上の関係Ｒを定める。

こうして”関係Ｒ→部分集合Ｓ”という対応と、”部分集合Ｓ→関係Ｒ”という対応によって、｛ＸとＹの上の関係｝と｛Ｘ×Ｙの部分集合｝には１対１に対応する。即ち、ＸとＹの上の関係を考えることは、Ｘ×Ｙの部分集合を考えることと同じである。

次に、Ｘ＝Ｙとしよう。Ｘの上の関係Ｒがあるとき、次の性質を考えることがよく現れる：
（１）反射律：
　任意のＸの元ｘについて、ｘＲｘである。
（２）対称律：
　任意のＸの２元ｘ，ｙについて、"ｘＲｙ⇒ｙＲｘ"である。
（３）反対称律：
　任意のＸの２元ｘ，ｙについて、”ｘＲｙかつｙＲｘ⇒ｘ＝ｙ”である。
（４）推移律：
　任意のＸの３元ｘ，ｙ，ｚについて、”ｘＲｙかつｙＲｚ⇒ｘＲｚ”である。

そして（１），（２），（４）が成り立つとき、関係Ｒを同値関係と呼ぶ。

また、（１），（３），（４）が成り立つとき、関係Ｒを順序関係と呼ぶ。

（１）反射律は、「自分と自分は関係がある」
（２）対称律は、「私とあなたの関係は、あなたと私の関係でもあるのよ」
（３）反対称律は、「私とあなたの関係、そしてあなたと私の関係によって、私はあなたでもあるのよ」
（４）推移律は、「友達の友達はまた友達である」

という具合である。（いささか意味深ですが。）

同値関係では、”同一視”の手続きを与えるときに使える関係で、順序関係では”順序”という構造を付帯した集合について考える際に必要になります。この辺りはまたの機会にて書こうと思います。