動かして学ぶバイオメカニクス #18 〜動力の力ベクトルと速度ベクトルへの分解〜
前章では力学的エネルギーの流れを可視化した．そのエネルギーは方向を持たないスカラ量である．解析する上でこれは都合が悪い．スカラでは３次元空間で複雑に動く身体運動において方向の議論ができなくなってしまう．しかし，エネルギーの時間微分は力ベクトルと速度ベクトルの内積で計算できる．つまり力と速度に分解してしまえば，それらはベクトルなので方向の議論も可能だ．ここではこの利点をいかし身体運動における動力伝達のメカニズムを考える．
はじめに
時間も含めれば運動の自由度は無限に近い．その無限の選択の中から，誰でも（なんとなく）ヒトらしい運動を選択しているのは，なんらかの強い拘束があるためで，ほとんどのロボットがロボットらしい運動をする理由も，その拘束が欠落しているからだろう（注１）．
アスリートに限らずそもそもヒトにとって，身体運動を行う上で使用するエネルギーの有効利用は生命維持や多くの意味で重要な役割を果たす．身体に過大な負荷をかけない意味もある．ヒトに限らず生命はそもそも効率の悪い運動を行うことが苦手と述べても過言ではないだろう．アスリートでも違いはなく，スポーツのような運動ではエネルギーの有効利用がむしろ顕在化しているかも知れない．
そのような，なんとなくヒトらしい運動を構成する軌道やその時間変化が構成するパターンを，ここでは大雑把に身体の運動パターンと呼ぶと，運動パターンを拘束する「何か」を知ることが，スポーツに限らず身体運動にとって重要な鍵になるだろう．ここでは，「効率」が強い拘束を与えてその運動パターンを形成すると考え，議論を進めていく．
第16章
では，エネルギーの伝達を力学的エネルギーの時間変化で導き，それが力ベクトルと速度ベクトルとの内積で記述できることを示したが，ここでは，特にエネルギーの伝達効率を上げる方法について考える．
通常，身体の末端には小さい筋群しか備わっていないので，動力供給を末梢のローカルな筋群のトルクで賄うには厳しい．ゴルフスイングではクラブの慣性モーメントが大きすぎクラブの回転運動のエネルギーを供給するには貧弱すぎる．そこで手部まわりの筋群によるトルクはそれによってエネルギーを供給するのではなく，関節に作用する力が媒介するエネルギーの流れをよくすることが求められ，大きな筋群で生成した動力を，必要なところに送り込むというのが自然な流れである．
効率の良さの一つの指標はわかりすく述べると「最小努力・最大効果」で，効率的な動力生成とも関係するが，ここでは動力生成については少し後回しにし，効率良い動力伝達について考えていく．
力・速度ベクトルの方向の制御による最適化
力と速度ベクトルの方向を考慮することで動力伝達を最適化する方法を，ハンマー投とゴルフのスイング運動を例に考える．
また，第16章で述べたように，運動の「状態」を「力」と「速度」のセットで記述することとする．
質点の加速の例
図１のように，特に幾何学的な拘束がな質点や小さい物体単体の運動を考える場合，通常目的とする方向に力を作用させるので，力ベクトル$${\bm{f}}$$と速度ベクトル$${\bm{v}}$$の方向は大きくずれることがない．このような場合，動力の伝達はそれほど複雑にはならないだろう．しかし，身体のように骨格系を有し，回転運動が加わると力ベクトルと速度ベクトルの向きが直交しがちで，これが問題を複雑化させる．
等速円運動の場合
このことを，まず図２のようにボール（大きさを無視して質点と考えてよい）に糸を結んで回すような等速円運動を通して考える．ボールには重力と糸から伝わる張力だけが作用するが，水平面内の運動を考え重力を無視し，等速円運動をしている際，速度$${\bm{v}}$$は円の接線方向を向き，それを微分した加速度は円の中心方向を向く．図２上左に，ある時間の速度ベクトル$${\bm{v}}$$，一定時間後の速度ベクトル$${\bm{v}'}$$，さらにそれらの差分$${\Delta \bm{v}}$$を示した．このとき加速度を$${\frac{\Delta \bm{v}}{\Delta t}}$$と考え，$${\Delta t}$$を短くしていくと，図の下のように赤線の加速度の方向は速度と直交し，回転の中心方向を向いていくことがわかる．この中心方向を向く加速度を向心加速度（centripetal acceleration）と呼び，それにボールの質量を乗算したものが向心力（centripetal force）である．したがって張力$${\bm{f}}$$には向心力が作用する．そこで，向心力を与えることで円運動を維持し，このとき速度と力は直交し，エネルギーは増えも減りもしない状況となる．
完全に等速でなくとも回転運動では力と速度の方向がおおよそ直交し，エネルギーを増加させることは，糸を通じて速度方向に力を与えることはできないため，数理上単純ではない．ただし，ヒトは軽い質点（ボール）であれば，それを糸を通じて軽いボールであればそれを加速させることは容易に実現することができるが，一体どのようなことを行っているのだろうか？
この質点の円運動を加速させるためには，簡単に述べると向心力が作用する方向に引っ張り速度を与えたり，質点の速度方向（接線方向）の反対方向に，手元で力を加えることで，等速性を崩し，力と速度の方向の直交性もわずかばかり崩しながら，力ベクトルと速度ベクトルの内積をかせぐ（増やす）戦略を取ることになる．詳細はハンマー投の加速の例を見ていただけたらと思う．
ハンマー投
「身体における運動パターン形成：第３章」で紹介したように，ハンマー投の場合，ハンマーにはハンドル部分から張力だけがワイヤに作用し，ハンドル部にはトルクは作用しない．このため，ハンマーのエネルギー供給は，張力（腕とハンマーの系では内力に相当する）を媒介したエネルギーの伝達によってのみ行われるが，それはハンドルに作用する力（張力）$${\bm{f}}$$と，ハンドル部分の速度ベクトル$${\bm{v}}$$との内積で定まる．
投擲運動中，ワイヤーには大きな張力（世界大会レベルで300 kgf 程度）$${\bm{f}}$$が作用し，身体方向に等速円運動を維持する以上の力を作用させることで，おおよそ同じ方向に速度ベクトル$${\bm{v}}$$を発生させ，腕からハンマーにエネルギーが伝達され（流れ），ハンマーの力学的エネルギーが増加する．
そこで，ハンマーが最も低い位置（投擲方向と反対方向）付近はローポイントと呼ばれるが，ローポイント近辺では両足で接地しているためハンマーに最も力を加えやすく，かつここではハンマーの張力が最大化するため，このローポイント近辺で向心力方向に力を作用させることで，エネルギーを腕からハンマーに伝送している．
これはパラメータ励振（parametric excitation）の典型例となっているが，力と速度ベクトルに分解することで，ハンマーに与える加速方法が力学的に記述できる．詳細は「身体における運動パターン形成：第３章」を見ていただきたい．
上に示したアニメーションでは，ハンドルに作用する青の矢印は，ハンマーのエネルギーの時間変化率を示す．ここでは力や速度は示していないので注意されたい．紫の矢印もエネルギー変化を示しているが，詳細は第３章を参照されたい．
剛体の加速：ゴルフスイング
等速円運動やハンマー投で扱った糸やワイヤーの代わりに，それを剛体に置き換えた振子の加速度でも，回転運動が基本となるため加速方法は同様である．
ただし，糸を骨やゴルフクラブなどの剛体に置き換えれば，振り子の根本にトルクを与えることができる．これにより，並進の力だけでなく，トルクによって振り子の先端の速度方向と同じ方向に力を加えられる．しかし，筋肉は「高速に回転運動を行っている際」，自分自身を収縮させることにエネルギーを使用してしまい，さらに外部に発揮するエネルギーの余力は少なくなり，アクチュエータである筋肉の特性を考えると振り子の先端の速度方向に力を与えることは向いていない．しかもゴルフスイングでは，クラブを回す動力としては手部まわりの筋肉はかなり非力だ．上肢のような末端の筋肉によるトルクは，加速の動力源としての効果を期待できないことが多い．
また，ゴルフクラブも含めて骨格系やリンク機構のように，剛体を関節機構で接続するような機構でも回転運動の連鎖が基本なので，質点の回転運動と同じような加速方法が基本となる．つまり，関節に作用する力を媒介するエネルギー伝達が，末端の振り子を加速する動力となる．そしてスイング運動を行う際には，やはり回転運動の影響で手首の関節には主にクラブの向心力が作用し，ハンマー投のように腕とクラブを一直線にするとグリップ部の速度はそれと直交してしまう．
クラブと腕間の直交化：
ゴルフスイングにおける具体的な加速戦略の詳細は，
をご覧になっていただきたいが，基本的にハンマー投と同様で，向心力を活用することが課題となる．
前述のようにクラブには力とトルクの両方作用するが，グリップまわりの手首で発揮されるトルクは相対的にかなり小さく，動力源としての効果は小さい（文献１）．
そこで，腕とクラブ間に作用する作用反作用の力による，動力伝達が主体となる．
クラブヘッドとグリップ部分の軌跡も黒線で示す．腕は三角形で示し，クラブヘッドは黒丸で示す．
図４は，ゴルフスイング中のクラブに作用する力ベクトルと，力が作用しているグリップ部分の速度ベクトルと，それらの内積から計算される力学的エネルギーの時間変化（仕事率）を矢印で示した．力ベクトル（黄）と速度ベクトル（青）の向きはスイングのフェーズによって大きく変化していることがわかる．
なお，仕事率はスカラであるが，クラブのエネルギーを増加させる場合（$${\bm{f}^T \bm{v} > 0}$$），ここではクラブヘッドからグリップ方向を向き，減速する際には反対方向を向くように描くことにしている．ただし図４はゴルフ用語でいわゆるトップの状態からインパクトまでの常に加速しているフェーズのため，仕事率は常に正である．
さて，クラブが最も加速するのは，仕事率の矢印（紫）が最も伸びているダウンスイングの中盤であるが，これは力ベクトルと速度ベクトルの方向がおおよそ一致しているフェーズに相当する．
このクラブのエネルギー増加フェーズではクラブには向心力が作用し，力ベクトル（黄）はおおよそシャフト軸方向方向を向いている．一方，腕の速度ベクトルは，腕の回転によって，おおよそグリップ部分の軌道の接線方向を向いている．そこで，腕とクラブの向きをおおよそ直交させることで，２つのベクトルの方向を近づけ，クラブの力学的エネルギーを増加させていることがわかる．この状態であれば，手部まわりの筋力の負担も最も小さい．
スイングの中盤以降は，クラブの自然な回転に任せて，次第にクラブの遠心力によって腕とクラブを真っ直ぐにするように回転していくことになる．つまり，中盤以降は次第にクラブを加速できなくなることを意味する．この諦めは肝心で，それはいつまでも加速しようとすると，スライスの原因となるからだ．
また，手首まわりの筋肉は，腕とクラブを直交に保つような仕事を行うことで，クラブに作用する並進の力によって媒介されるエネルギー伝達を促進し，エネルギーを供給している．この際，収縮速度はほぼ０に近く，弱いなりに筋力を最大化することで関節を固定することに貢献している（図５参照）．
ゴルフスイングの加速では，トルクではなく作用反作用の力（内力に相当）によるエネルギー伝達が主体であるため，この流れを促進する（阻害しない）身体の動かし方が重要で，ここではクラブの向きが腕に対して直交させる意味が，「速度と力ベクトルに分割する」分析によって見えてくる．
身体運動を観察する際に，前章で示したように，単にスカラ量としてエネルギーの変化を可視化するだけではなく，なぜ増大しているか，力ベクトルと速度ベクトルの向きに分解することで，加速のメカニズムが見えてくることがわかるだろう．また，これらの力や速度や，運動方程式や運動学によってさらに詳細に分解可能となる（文献１，２，３）．
図４のスイング中の力ベクトル，速度ベクトル，力学的エネルギーの時間変化のアニメーションを以下に示した．ただし，紫の力学的エネルギーの時間変化の矢印の示した位置と方向が図４と異なるので注意されたい．
内力による動力伝達が運動パターンを形成する
ハンマー投もゴルフクラブも，手と道具（ハンマー，ゴルフクラブ）間に作用する作用反作用の力を媒介することで，腕から道具に動力を伝達している．この作用反作用の力は，腕と道具の系から見ると，系内のエネルギーの移動に寄与するが，系全体ではエネルギー変化に影響を及ぼさず，このような力を内力（inernal force）と呼ぶ．
キック動作で股関節のトルクや，野球の投球のように肩関節のトルクがエネルギー供給を行うことがあるが，上肢や下肢のスイング運動では内力による動力伝達が，スイング運動という似たような主たる運動パターンを形成する．関節に作用するトルクに余力があるときは，内力による動力伝達が形成する運動パターンに協調するようにエネルギーを供給することが，効率の上で求められている．
スカラとベクトル
力学的エネルギー$${E}$$とその時間微分$${\dot{E}}$$である仕事率$${p}$$もスカラ量である．したがって，このままの議論では，エネルギーの変化はわかるが，運動や作用させる力の方向の議論ができない．
ところが力学的エネルギーの時間微分$${p=\dot{E}}$$は，力ベクトル$${\bm{f}}$$と速度ベクトル$${\bm{v}}$$の内積$${\bm{f}^T \bm{v}}$$で記述できることから，力と速度に分解することでベクトルと同様に方向や成分による，ベクトルに準じた解析が可能となる．このことは大きい．
たとえば，ハンマー投やゴルフスイングでは，力や速度ベクトルは特に運動が高速であったり，大きな力を作用させると，その方向はダイナミクスに強く拘束され，自由に向きを変えたりできない．そこで，この状態に応じた身体の加速方法が必要となる．
ハンマー投では，張力が最大化し，力ベクトルを作用させやすいローポイント近辺で加速している．すなわち，「エネルギーの流れが良くなる状態」で加速する戦略である．一方，ゴルフスイングでは，クラブと腕の角度を直交させることで，力と速度ベクトルの方向を近づけ，クラブに「エネルギーが流れやすい状態」をつくる戦略である．
このように，力ベクトルと速度ベクトルよって記述される運動の「状態」によって加速のメカニズムを明らかにすることができる．また，それらの力や速度は，ハンマー，クラブ，腕などの「ダイナミクス（運動方程式）」によって拘束されるため，エネルギーとダイナミクスから総合的に，ここでは述べないが，多くの身体運動の加速のメカニズム等を理解することに近づくことができるだろう（文献１，２，３）．
エネルギーは逃げやすい
内力を媒介した動力伝達は，ゴルフやバッティングの運動において自然なスイング運動を導く．また，内力による伝達はある意味，筋力を必要としない伝達方法で，最小努力，最大効果を実現する．
上の動画は，二重振り子を回している様子だが，振り子間の関節にはアクチュエータは存在しない．これは，筆者が学生の時の小林先生の授業ではおなじみの実演で（文献４），次章の話題とも関連するが，これは「関節に筋肉がなくても振り子運動を実現できる」ことを示している．これは「動力が伝達しやすいときだけ」手からエネルギーを周期的に与えて，結果，パラメータ励振のような加速を行っている．つまり，ゴルフスイングと同様に，振り子間のなす角度が直交するときに（先端の振り子が上下を向く際）に加速させ，振り子間のなす角度が0または180度のときにエネルギーが減少している．
しかし，実際の身体運動では関節でなにも制御していないわけではない．エネルギーは逃げやすい．なにもしないと逃げ場を探して逃げてしまいがちで，物体にエネルギーを伝達しようとすると，簡単にエネルギーの漏れが発生する．
そこで，ここで示したゴルフスイングではグリップ部分の制御を行うことで，よりエネルギーが流れやすい状態を作っている．
逃げやすいエネルギーの漏れを防ぐための他の方法として，スポーツの場面では両脚や両腕で閉ループ系を構成することで，エネルギーの漏れを防ぎ，動力を生成したり，伝達することがよく行われる．
もし身体において弱い部分があると，そこが動力伝達のボトルネックになる．また，強い部分に頼ることでも伝達の阻害が起こることもあるだろう．前章で示した解析によって伝達が阻害されている部位を発見できるかもしれない．しかし，重要なことは，エネルギー変化を観察するだけでなく，それを引き起こす力と速度をダイナミクス（運動方程式）と運動学をセットにして，考えていく力を身につけることだろう．データに頼るだけでは問題を解決できないことも多々ある．
おわりに
スポーツバイオメカニクスでは，前章で示してきたようなエネルギーの流れ，つまり力学的エネルギーの時間変化（仕事率）を可視化する研究は，これまでも発表されてきただろう．
しかし，それがなぜ増減しているのかを，恐らく力と速度に分解することなく，議論がなされてきたようだ．しかし，それを計算するためには，必ず力ベクトルと速度ベクトルを計算している．ならば，それらを決して塩漬けにはせず，活用していただけたらと思う．加速する理由が見えてくるはずである．
次章に向けて
本章では，運動の状態を表す，力と速度ベクトルの「方向」に着目することで，効率よい動力伝達方法を議論し，エネルギーを流れやすくするために，力ベクトルと速度ベクトルの方向を近づけたり，近づいたときに力や速度を増加させる方法によって，運動を加速する戦略について述べた．
次章では力と速度の「比」（インピーダンス）を考え，効率良い動力伝達を考えていく予定である．
参考文献
１）太田, 仰木, 澁谷，ゴルフスイングにおける内力を利用したエネルギー伝達，シンポジウム: スポーツ・アンド・ヒューマン・ダイナミクス講演論文集，2012, pp.293-298
２）尾崎, 太田, 神事，二重振子モデルに基づいたキック動作の数理解析，日本機械学会シンポジウム: スポーツ・アンド・ヒューマン・ダイナミクス講演論文集，2011, pp.453-458
３）神事, 太田, 尾崎，二重振子モデルに基づいたピッチングにおけるスナップ動作の数理解析，日本機械学会シンポジウム:スポーツ・アンド・ヒューマンダイナミクス講演論文集, 2011, pp.459-464
４））小林一敏，スポーツの達人になる方法（テクノライフ選書），オーム社，1999
注記
１）多くのヒューマノイドロボットは，ぎこちない動きをするが，ボストン・ダイナミクスのロボットはヒトの運動に近づいている感がある．
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