はじめての線形代数 練習問題4

今回はこちらの記事の練習問題と解説をしようと思います！

問題

基本問題

$${問1.行列 A と B について、 A ,Bの行列式を求めよ。\\A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}\\}$$

$${問2.以下の行列 A の行列式を求めよ。\\A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}}$$

$${問3.以下の行列 A の行列式を求めよ。\\A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{pmatrix}}$$

応用問題

$${問4.以下の行列 A の逆行列を、余因子行列と行列式を用いて求めよ。\\A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}}$$

$${問5.以下の行列 B の行列式を余因子展開を利用して求めよ。\\B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 4 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

$${問6.行列Cの逆行列を余因子行列を行列式で除して求めよ。\\C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} }$$

解答

問1

$${解答1.\\ A の行列式は、|A| = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2\\ B の行列式は、|B| = -1 \cdot 1 - 0 \cdot 3 = -1}$$

問2

$${解答2.：\\サラスの公式を使うと\\(1 \cdot 5 \cdot 9 + 2 \cdot 6 \cdot 7 + 3 \cdot 4 \cdot 8)\\ - (3 \cdot 5 \cdot 7 + 1 \cdot 6 \cdot 8 + 2 \cdot 4 \cdot 9) \\45+84+96-105-48-72=0}$$

問3

$${解3.ちょっとしたテクニックで紹介した方法を使います。\\1行目の2,3,4倍を2,3,4行目に対して引きます。\\\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\3 & 2 & 1 & 0 \\6 & 4 & 2 & 0 \\9 & 6 & 3 & 0\end{pmatrix}・・・(1)\\この(1)の行列式は}$$