じゅず順列へのアプローチ（場合の数：４STEP応用問題）

今回は、生徒からの質問について書いてみます。じゅず（数珠）順列の問題です。問題はこちら。

（１）もありましたが割愛し、（２）のみ扱います。

数珠や首飾りは、ひっくり返すことができるので、今考えている並びについて、ひっくり返したものも数えていると考えます。

その際に大切なのは、対称性を確認することです。対称性があるものは、二重に数えていないので、じゅず順列を考える際、除外しないといけません。

さて、本問はすべての場合の数を求めるのがやっかいな設定になっています。どの２個の赤玉も隣り合わないとあるので、これを処理していきます。

まず白玉が１個しかないので、白玉を固定します。これで、円順列は解消し、円形ですが通常の順列になります。次に数の多い青玉を配置して図をかきます。

奇数個なので、白玉の向かい合わせの玉はないので、左右対称で考えることができます。そして、〇の部分に赤が入ればいいと分かります。

とできそうですね。

次に対称性を考えます。片側について考え、〇の部分に赤玉が入ることを考えていきます。ただし、本問は赤玉が隣り合ってはいけないので、↓ような条件になります。

なので、赤玉が入れるのは、３か所になります。

対称になるのは３通りとわかります。じゅず順列にならないのが３通りということです。

よって、じゅず順列になるのは、３５－３＝３２通りとなり、

じゅず順列の場合の数は、３２÷２＝１６通りとなります。

よって、すべての場合の数は、３＋１６＝１９通りとでてきます。