Σの特徴をつかめ！【京都大文系２０２３年 】

今回は、京都大学２０２３年の数学の問題を解説します。
問題はこちら。

一目みて、Sn＋１ーSn＝aｎ＋１が見えますね。これはシンプルにここから攻めていけばいいのではと思います。

と変形した後は、Sn＋１ーSn＝aｎ＋１として、まとめていきます。

これでこの数列が階差数列であることが分かりました。

ここで、本問のポイントが来たと思います。

Σの中の分析です。
左項の（ｋ＋１）２^ｋ＋１に対して右項は、（ｋー１）２^ｋであることに注目します。
これをｋ２^ｋと変形すれば、Σ計算として大半が消えることに気づけたかどうかがポイントだったと思います。

すると、

として、左項の中カッコの中は、Σを解体していけばよさそうですね。

右項は、公式通り（等比数列の和）ですね。よって統合すると

となります。

最後はｎ＝１で成立するかをチェックして終わりです。

それにしても、本問は京大文系数学らしいボチボチ感がいい塩梅な問題ですね。数学が苦手でもええよという配慮が見て取れます。
何でも難しくすればいいってものでもないでしょ。

数学の苦手な人でも何とかなるのが京大文系の魅力でもある。こういうのが京大の奥深さでもありますね。