２０２２年九大理系数学［３］その２

２０２２年九大理系数学［３］を解説しています。
前回はこちら。

今回は、（２）を解説します。
問題はこちら

まず、１６８＝２^３×３×７なので、ｎ^２ー１が２^３＝８の倍数であり、３の倍数であり、７の倍数であることを示すことをが基本の流れになりそうです。
まず、３の倍数であることは、
（１）でｎが奇数であることが分かっているので、

とできそうですね。
次に８の倍数であることは、
整数問題は積の形で考えるというセオリ通り、ｎ^２ー１＝（ｎー１）（ｎ＋１）と因数分解できます。
（１）でｎは奇数とわかっているので、ｎー１，ｎ＋１は共に偶数であることがわかります。連続する２つの偶数は、少なくともどちらかが４の倍数です。なので、（ｎー１）（ｎ＋１）は８の倍数と言えそうです。

問題は７の倍数です。
３の倍数であること同様にmodで考えていくのですが、

のうち、ｌ^２＝２、４がｎ^２ー１≡０としてよいかという点が悩みどころです。受験生としては、そのまま突っ込んで減点を食らうのは、怖いと思うところでしょう。
ここは、出題の先生が（１）で配慮してくれています。
（ｎ^２＋１）/２　と、（ｎ^２ー１）/２がお互いに素
であることを活用してもよいよというメッセージを読み解きましょう。

つまり、ｎ^２＋１が７の倍数でないことを示してもよいのです。
なので、

という流れで示せそうです。

という流れです。
示すポイントを分割し、それぞれを丁寧に考察することが求められた問題でした。さらに７の倍数の示し方にはひねりがあり、良く練られた問題だったなと感じます。

（追記）
見直しをして、気づいたのですが、（ⅰ）の３の倍数についても、（ｎ^２＋１）/２　と、（ｎ^２ー１）/２がお互いに素の整数の性質を使っても証明できそうですね。（ｎ^２＋１）/２　が３の倍数にならないことを示すこともできます。