中学入試、大学入試で出題される？2025に関する数字の問題【アイデアも大募集！】

⬜︎中学入試編

①実は平方数

2025は45×45と表せる平方数です。平方数とは、同じ数を2つかけて作られる数のことで、2025は45という数字を2つ書ければ得られる数字ということです。

②九九について

九九の表(1×1〜9×9の掛け算の結果81個)の数字をすべて足すと2025

全部計算すると大変ですね。工夫をしていきます。たとえば2の段に着目しましょう。足すべきものは、2、4、6、8、10、12、14、16、18です。
これらを足しても良いのですが、足し方を工夫します。
これらの数は2×1、2×2、2×3、…、2×9と表せるため、全て足す計算は
2×(1+2+3+…+9)と、分配法則の逆のようにくくって計算出来ますね！

これを他の段でも同様に行っていくと、
1の段…1×(1+2+3+…+9)
2の段…2×(1+2+3+…+9)
3の段…3×(1+2+3+…+9)
…
9の段…9×(1+2+3+…+9)
となります。これを全て足すと81個全ての足し算の結果と成ります。後ろの(1+2+3+…+9)は共通していますので、足すと
(1+2+3+…+9)×(1+2+3+…+9)となりますね。
1+2+3+…+9=45なので、①より、
45×45=2025ですね！

③その他

・約数の個数は15個、約数を全て足すと3751
・ $${\frac{1}{2025}}$$ から $${\frac{2024}{2025}}$$ までの既約分数
→2025÷3=675、2025÷5=405、2025÷15=135なので、
2025-(675+405-135)=1080個

⬜︎大学入試編(中学入試編の知識も大切！)

①3乗和

$${\displaystyle \sum_{k=1}^9 k^3=2025 }$$

②場合の数との関連

・正2025角形に内接する正多角形は、正2025角形を入れると1726通り。
(ただし、正2025角形の各頂点を区別した場合に限る)
約数の総和から、正1角形は作られないため2025を引けばよい。

③整数の性質との関連

・nCk=2025となる自然数n,kは、(n,k)=(2025,1),(2025,2024)しかない。
この証明では、2k≦nを満たす自然数kを考えると、k≧3ではn=24のとき、
24C3=2024(これも覚えたい！)となるため、満たす組み合わせが存在せず、
k>3であれば、nPkは3と5以外の素数を含む積を考えることになり成り立たない。k=2も同様に満たす整数は存在しないことから、この2解に絞られる。

⬜︎その他、2025にまつわる性質があればコメントして下さい！