数学の概念を視覚的and直観的に理解してみた by九九と1次関数の共通点
こんにちは、数学のブログへようこそ！今日は、y=axという線形方程式を九九の段で考えるという面白い発見をシェアしたいと思います。
x軸の数値2からy軸に向かって進んでいる過程は、ｙ＝axで、x=2の時のyの値の集合。実はこれ、九九の2の段なんだよねってなれば凄いってなる、はず。
「小学校の九九」の凄さと思う点
小学校の最初に学ぶ九九。なぜ、同じ２の段を2×1,2×2、2×3・・・2×9まで永遠に言わなきゃいけないのかな？と思っていましたが、一次関数のグラフの時にこういう発見出来てたのなら、小学校の九九凄いぞ！おぉってなっていたんだろうと。
y=axは、xとyの関係を表すグラフで、aは傾きと呼ばれる定数です。傾きとは、グラフがどれだけ斜めになっているかを示す数値で、aが大きいほどグラフは急に上がります。逆に、aが小さいほどグラフはゆるやかに上がります。
では、九九の段で考えてみましょう。例えば、2の段なら、y=2xという方程式になります。この方程式のグラフは、原点から始まり、右上に伸びていく直線です。この直線上の点は、xとyの値が2の倍数になっています。例えば、(2,4)や(5,10)や(3,6)などです。これらの点は、九九の段で言えば、2×2=4や2×5=10や2×3=6などの答えに対応しています。
九九と一次関数の共通点
こちらをご覧ください。
凄くないですか？この赤い枠の部分を、y=2からy=10までを九九で暗唱していたのですから。そう考えますと、グラフはy=axですが、axについて、a×x、x×a→a1×xと考えると、傾きaについて、1から9、傾きa1について1から9、x軸の数値について、1から９まで、y軸の数値について１から81まで、小学校最初の九九で扱っていることになります、てか、習ってたんだなぁと一次関数のグラフで確認、発見出来たら嬉しいですよね！
面白いことに、y=axのyはa×Xで表される面積と考えることができます。どういうことかというと、例えば(2,4)という点は、原点から(2,0)まで横に伸びた辺と、(0,4)まで縦に伸びた辺を持つ長方形の面積に等しいのです。
つまり、2×4=8という面積です。同様に、(5,10)という点は、5×10=50という面積がyの値を表しています。
ここで少し、一次方程式y=axが面積＝aという1辺×ｘという1辺というように、一次方程式のyの値が面積を表すということについて、それが座標平面上ではどうなっているのか？の話で脱線したいと思います。
傾きaについて、補足というか、間違っていたことに気付いたのでこれモメモってシェア
傾きa=yの「増加量」 ÷ xの「増加量」＝y/xとなります。
y=ax で、傾きがy/xなので、
y=y/x ✖ x/1
ここで、傾きaは、a=yの増加量 ÷ xの増加量 という「増加量」なので、y=axのxは、xの増加量ではなく、xの値なので、注意が必要です、分母のxと分子のxは相殺できません。なぜなら、例えば、y=axで、aが2、xが３とします。xが3の時、y=2*3=6ですよね。なので、座標は(x,y)=(3,6)となります。ここで、傾きaをy/xだから、6/3=2としがちで私もそうしてしまっていましたが、実はこれはNG。これだと、yの「値」÷xの「値」になってしまいます。
増加量というのは、ある点から、別の点まで移動した距離が増加量です。
xの増加量≠xの値
yの増加量≠yの値
増加量は2点間の距離です。
なので、増加量を求めるためには、「ある値」から「別の値」の2点間の距離が「増加量」となります。
なので、もう1点(x,y)=(3,6)以外の点を作る必要が、「増加量」を求めるためには必要です。先ほどはx=3を代入したので、x=4を代入してみましょうすると、y=2xにx=4を代入すると、y=8なので、(x,y)=(4,8),これと、先ほどx=3の時のy=6、つまり（x,y)=(3,6)という2点がでけましたので、この2点の「差」をそれぞれの「増加量」として、分子に「yの増加量」、分母に「xの増加量」にすると、分子はyの差なので、8-6=2、分母はxの差なので、4-3=1となり、傾きは、yの増加量/xの増加量なので、2/1=2 これが傾きaとなる。だから、y=axはy=2xとなるという感じになります。
簡単に傾きが求められるにもかかわらず、実は曲者のy=ax
もうお分かりの方もおられるかもしれませんが、y=axの場合、すべてについて、1点の座標さえわかれば、y/x=aが求まるのです！わざわざ2点を求めて、その差を分数にして傾きaを求めなくても大丈夫なのです！
超どやっていますが、この理由について、実は無意識に2点間の距離をとっているんです！私はこれを勝手に一次関数のグラフマジックと呼んでいます。
y=あx、でなくて、y=axはどんなグラフでしたか？原点を通っています！
なので、最初の点は(x,y)=(0,0)なんですね！だ・か・ら、
傾きを求めるにおいて、単純にどっかの1点、ｙ＝2xなら、(x,y)=(1,2)を求めたならばですね、たらればですよ、単純に値の分数をすれば、y/x=2/1=2と傾き２が求められます。これは、y=3xでも、y=4xでもそうですね。DXはDigital Transinformation（略してX)の略でしたね。X＝transinformationなので覚えにくいですね。
y=5xでもそうです、どっかの(x,y)さえわかれば、y/xで傾きaとなりますから。そして、単純に値だけ、つまり1点(x,y)さえ分かれば傾きはy/xだよねって、y=axを習った頃に覚え込んでしまうことを、「勘違いy=axのa」と勝手に呼んでいます（呼んでいませんが）。
「勘違いy=axのa」で慣れてしまうと、y=ax+bになった時に焦るというか困る
y=axに慣れてしまうと、y=ax+bになった時に困ります。例えば、y=2x+2としましょう。これは、y＝2xのグラフをy軸方向に+2したグラフですね。xに2を代入すると、y=2*2*+2で6と(x,y)=(2,6)という点が求まります。そのままy/xで傾きを求めてしまうと、6/2=4であれ～？となるのですね。
y=2xも、y=2x+2もどちらも傾きは同じ2なのですから。
その時はじめて、「増加量」≠「値」と気付くのですが、その時はモヤッとするのは間違いないです。
最初にy=axを学ぶことの盲点のようなもの_「増加量」を単なる「値」と捉えてしまいがちな件
じゃあ、なぜy=2xの場合だけ、1点だけで傾き2が出てきたのかと言わせれば、実はこれ、れっきとした2点なのです。原点という1点目と、もう1点という2点になっていたのです！
y=2xの場合で、x=4のとき、y=2*4=8で、(x,y)=(4,8)ですが、傾きでは、
原点(x,y)=(0,0)とある点(x,y)=(4,8)の「2点」という「増加量」で傾きaを求めていたんですね！でも、この時、原点(x,y)=(0,0)はオンラインで計算には出てこないため、yの値/xの値こそが傾きだと勘違いしてしまうのですね。
というわけで、あらゆるy=axについては、傾きaについて、1点目の原点(x,y)=(0,0)aを省略するため、a=yの値÷xの値＝y/xとできるので省略しがちです。
ですが、0も慣れるまでは書いておいた方が勘違いしなくていいでしょう。1点(x,y)=(4,8)が分かった時の傾きa=y/x＝(8-0)/(4-0)=2
というわけで、y=axのときも、y=ax+bのときも、「傾きは増加量（2点間の距離）を元に計算する」ということなんですね！
脱線の脱線で、元にもどり、やっと面積の話に来ました。
なぜ傾きが固定される1辺を表すのか？
面積の公式は、面積＝横×縦ですが、これをy=axで表すと、
横：aの値
縦：x座標の値
面積：yの値
ここで、「傾きaの値は、座標平面上では、x軸上にも、y軸上にも無いオフライン」です！なぜなら、傾きaとは、「増加量」という「量」なので、点ではないので、座標平面上では点として現れないからです。
座標平面上では、
「y=axの固定値でもある傾きa（ここでは傾き2）という固定値を面積を表す四角形の固定辺の1辺、y=axのx成分をもう1辺とする四角形の面積」が実際の四角形の辺と面積です。
実際の四角形の場合、y=2xのx成分の値が横の辺を作っていきます。このとき、傾きであるaが縦の固定された辺となります。
ここで、実際の四角形は、実際なので、座標平面上でグラフとともに表すことは、できません。
ですが、座標平面上では黒いメモ的な四角形が出来てきます。この四角形を、最初はy=2xは面積をも表すので、その面積だと誤解して見がちです。
y=2xの傾き2は「点でなく量」なので、可視化できずにオフラインなので、このグラフの黒い四角形が表す白い面積部分は、実際の面積ではありません。なぜなら、y=2xのxの値を横、面積を表すyが縦の辺になっているからです。
座標平面上のy=2xの左辺のyの値について、y=2xの右辺を２×x＝面積とした時の面積のことであり、面積の値は、座標平面上のy座標で表しているため、面積が1辺、x成分が1辺の面積っておかしいですよね。
なので、上記のように、一応、四角形は出来ますが、これは、実際の傾きaを1辺、y=2xのx成分を1辺とする四角形を表していないということになります！次にまとめています。
座標上のy=axの(x,y)という点からx軸、y軸へ垂直へ下ろした線を2辺とする長方形は実際の四角形の図を表していない
y=2xについて、面積をy、縦の長さを2、横の長さをxにすることもできますなぜなら、面積＝縦×横、もしくは横×縦だからです。
ですが、上記の黒い枠線内の面積は、「面積yが縦の長さを表しています。」y=axを、面積＝縦×横と見立てた場合の、実際の四角形は、座標平面上の1次方程式y=2xでは、実際の四角形は表せていません。
逆に、実際の面積、つまり、y=axをそのまま面積＝縦×横と表したものが、実際の面積と呼んでいますが、実際の面積では、傾きaもオンライン化されています。傾きaは「増加量」のため、「点ではないので」、座標平面上ではオフラインになって、出てきません。変化量、増加量なのでオフライン、点というオンラインとして出てくる点という結果は、ある点xが別の点xに移った時や、ある点yが別の点yへ移った場合の軌跡が、変化量、増加量として認識されます。
実際の四角形とは、座標平面上で表さない四角形。傾きという増加量という「点ではないオフラインとしての量」が四角形の固定の辺として可視化出来ている一方、座標平面上では傾きaは点ではなく量というオフラインになっているため、座標平面上で点として表現できないのですね。
九九の二の段のお話に戻りましょう。
より具体的な感じで表すために、九九の範囲を可視化するために、方程式囲まれた座標上での図形で表してみました。
y=81:青色
x=9:茶色
y軸
x軸
これらで囲まれた箇所の面積が、九九の最大値になるのかな？この部分についてを、九九で唱えていたんだと思うと、やっぱ九九は学ぶべきなんだなと思いました。
このように、y=axという方程式を九九の段で考えると、面白い発見がありますね。傾きaは、面積の固定された一辺なんだと気づくと、「おぉ」と感動しますよね。数学って奥が深くて楽しいですね！
今日の自由律俳句
発見はいくつになってもワンダーランド
発見はいくつになっても遅くはないねぇ