コーシー・シュワルツの不等式の等号成立条件について

コーシー・シュワルツの不等式

複素数をスカラーとするベクトル空間$${V}$$上の内積$${(, ): V \times V \to \mathbb{C}}$$に対して、次の不等式をコーシー・シュワルツの不等式という。

$$
|(a, b)| \leqq \| a \| \| b \|
$$

この不等式は次のように表すこともできる。

$$
(a, b)\overline{(a, b)} \leqq (a, a)(b, b)
$$

まずは、この不等式を証明しよう。
$${a=0}$$の場合には両辺がともに$${0}$$になるので明らかに不等式は成り立つ。したがって、$${a\neq0}$$の場合に証明すれば良い。
複素数$${\mathbb{C}}$$から実数$${\mathbb{R}}$$への関数$${f: \mathbb{C} \to \mathbb{R}}$$を次の式で定義する：

$$
f(\omega)=(\omega a-b, \omega a-b)
$$

この定義式の右辺を展開して整理すると次のようになる：

$$
f(\omega)=(a,a) \left( \omega-\frac{\overline{(a, b)}}{(a, a)}\right) \left(\overline{\omega}-\frac{(a, b)}{(a, a)}\right)+\frac{(a, a)(b, b)-(a, b)\overline{(a, b)}}{(a, a)}
$$

内積の定義より、任意の複素数$${\omega}$$に対して$${f(\omega)\geqq 0}$$なので、特に

$$
f \left(\frac{\overline{(a, b)}}{(a, a)}\right)\geqq 0
$$

が成り立つ。ここで、

$$
f \left(\frac{\overline{(a, b)}}{(a, a)}\right)\ = \frac{(a, a)(b, b)-(a, b)\overline{(a, b)}}{(a, a)}
$$

なので、$${(a, b)\overline{(a, b)} \leqq (a, a)(b, b)}$$が成り立つ。

等号成立条件

コーシー・シュワルツの不等式において等号が成立するための必要十分条件は、複素数$${\lambda}$$で$${b=\lambda a}$$を満たすものが存在することである。このことを証明しよう。
まず$${b=\lambda a}$$を満たす複素数$${\lambda}$$が存在したと仮定する。このとき、

$$
(a, b)\overline{(a, b)}=(a, \lambda a)\overline{(a, \lambda a)}=
\lambda\overline{\lambda}(a, a)^2
$$

であり、

$$
(a, a)(b,b)=(a, a)(\lambda a, \lambda a)=\lambda\overline{\lambda}(a,a)^2
$$

であるから、等号が成立する。

逆に、等号が成立すると仮定する。このとき、上で用いた$${f(\omega)}$$に対して、

$$
f(\omega)=(a,a) \left( \omega-\frac{\overline{(a, b)}}{(a, a)}\right) \left(\overline{\omega}-\frac{(a, b)}{(a, a)}\right)
$$

が成り立つ。そして、

$$
\lambda = \frac{\overline{(a, b)}}{(a, a)}
$$

とすれば明らかに、$${f (\lambda) = 0}$$が成り立つ。内積の非退化性より

$$
\lambda a - b = 0
$$

であるから、$${b = \lambda a}$$が成り立つ。