純粋幾何で証明できないこと
Макс Денマックス・デーン
«КВАНТИК» №4, 2021，Сергей Львовскийセルゲイ・リボフスキー
上記の記事より編集しました：
20世紀の数学の成果を一般向け記事で解説することは，ほとんど不可能なのが通例ですが，この記事の主人公デーンの成果に関しては例外です．
マックス・ウィルヘルム・デーンは、1878年にハンブルクで医師の家族に生まれました。高校を卒業後、フライブルク大学に入学しましたが、当時世界有数の数学センターがあったゲッティンゲン大学に転校しました。ゲッティンゲンでは、偉大な数学者のダフィット・ヒルベルトがデーンの指導教官でした。彼の指導の下で、デーンは非ユークリッド幾何学に関する論文を出しました。その後まもなく、トポロジー（当時の数学の新しい分野）に目を向け、この科学で多くの重要な結果を出しました。ユダヤ人出身のためナチスに大学から解雇された後もドイツで数学を勉強し続け、1938年に彼は基本的な位相幾何学の論文の1つを（海外で-スウェーデンで）出版しました。そして、1950年に出版された最新論文も（そのときは，すでに米国に住んでいた），彼の好みの低次元トポロジーに関するものでした。
ヒルベルトの第3の問題
1900年8月にパリで開催された第2回国際数学会議で、ヒルベルトは23の問題のリストを提出しました。ヒルベルトは、それらの解決策は次の20世紀の数学の発展にとって特に重要である考えました。
最初に解決されたのは「第3の問題」で、これを解決したのはマックス・デーンでした。
3角錐の体積
この問題が何であったかを理解するために、三角形の面積は底辺と高さの積の半分に等しいことを思い出してください。これは、「カットアンドフォールド切断して折りたたむ」法によって証明できます。たとえば、底辺がaで高さ がhの鋭角三角形を パーツに切断し、底辺がaで高さ がh / 2の長方形を形成できます （図1 ）。
ピラミッドの体積は、底面の面積とその高さの積の3分の1に等しくなります。たとえば、A.P.キセリョフによる幾何学に関する古典的な学校の教科書ではそれがどのように行われているでしょうか。
簡単にするために、エッジSBが底面ABCに垂直である三角錐SABCの体積を求めましょう。底面（三角形ABC ）の面積がPに 等しく 、辺の長さSB（ピラミッドの高さ）がhに等しいとし ます。底面領域が Pで高さ がhのABCESDプリズムへのピラミッド分割を完成させましょう（図2）。このプリズムは、3つの三角形のピラミッドに分解されます。元のSABCに加えて、CDESおよびCAESピラミッドです。これらの3つのピラミッドの体積が等しいことを証明できれば、SABCピラミッドの体積はABCESDプリズムの体積の3分の1 、つまりP×h /3に等しいことがわかります。しかし、 ABCESDプリズムが分割されている3つのピラミッドの体積が同じことを、どうすれば証明できるでしょうか。これは、次の補題を使用して行われます。
補題．2つのピラミッドは、底面積と高さが等しい場合、これらのピラミッドの体積は等しい。
確かに、ピラミッドSABCとCDESの体積は等しい。なぜなら、それらは底面が同じ面積（三角形ABCとDSE）、高さ（線分SBとCD）が同じ、ピラミッドのCDESとCAESも同様です。頂点 Sを持つ三角形のピラミッドと見なすと、それらは共通の高さを持ち、底面（三角形のCDEとEAC）は同じ面積です。
しかし、ここから本当の困難が始まります。教科書の作者は、切断して折りたたむことで別のピラミッドを作ることができなかったので、「純幾何」の縛りを超えて、極限などの数学概念を使用しなければなりませんでした。
ピラミッドを、有限個の三角プリズムに分割したものを組み合わせ表現しています．ピラミッド面をはさんで内側と外側に近似した三角プリズムが積まれています。ここで、プリズムの高さがゼロになる極限を考えると、三角プリズム積んだピラミッドの面の内側体積と外側体積が一致する結果が得られます。
19世紀の終わりにDavid Hilbertヒルベルトが幾何学の論理的構築について疑問を投げかけたとき、彼はとりわけ、幾何学におけるそのような「非幾何学的」推論を使わずにどこまでできるかという疑問を提起しました。彼は多角形の面積の理論では成功しましたが、多面体の体積ではうまくいきませんでした。その結果、ヒルベルトは、立体幾何学の「純幾何学的な構築」は不可能ではないかという疑いを持っていました。ヒルベルトは、3番目の問題を次のように定式化しました。
高さが等しく、底面積が同じ2つの三角形のピラミッドがあり、最初のピラミッドを有限数の多面体に切断して、それらを折りたたんで2番目のピラミッドを作ることは常に可能なのか？
ヒルベルトは、同じ底面と高さを持つこのような2つのピラミッドの例を見つけることを提案しました。2つの多面体は、同じ多面体の有限数をそれぞれに詰め込んで（任意回転は許される）、それぞれの多面体が構成される場合は、「等しく補完された」と呼ぶことにします。等しく補完された図の体積が一致することは明らかであり、2つのピラミッドが等しく補完されていることが判明した場合、純幾何学的な証明が得られることになります。
ヒルベルトの問題（100年後）
問題のリストを含むヒルベルトのレポートは、1900年の「ゲッティンゲン王立科学協会のレポート」の第3号に掲載されました。また、このジャーナルの同じ号には、デーンの論文「On Equally Composite Polyhedra」が含まれています。この記事では、底面積と高さが同じで、不等積構成された2つの三角形のピラミッドの例が示されています。
しかし、デーンによって不均一な構成が確立されたピラミッドは、依然として等しく補完されている可能性がありました。しかし、翌年の1901年に、デーンは、底面の面積と高さが等しく、構成も補完もされていない三角形のピラミッドがあることを証明しました。これで、ヒルベルトの3番目の問題は確かに解決されました。ピラミッドの体積の公式を純粋に幾何学的に導出することは不可能だったのです。ちなみに、キセリョフの教科書（1914年版）は、デーンの論文に言及し、それらが幾何学の教えとどのように関連しているかを述べています。
■マックス・デーンについて
1930年代に中央ヨーロッパに、そして第二次世界大戦中にドイツが占領した地域には、ほとんどの数学者は、静かな生活を送る機会がありませんでした。ゲオルク・ピーク、オットー・ブルメンタール、アルフレッド・タウバーはユダヤ人の出身であるという理由だけで投獄され、ナチスの強制収容所で亡くなりました。フリードリヒ・ハルトークスとフェリックス・ハウスドルフは、ナチスの迫害によって自殺に追いやられました。ユリウス・シャウダーとスタニスワフ・サックスは、ポーランドの反ナチ抵抗運動に参加したことで処刑されました。ヒューゴ・シュタインガウスは、1941年から1945年まで身分を偽って潜伏することを余儀なくされました。ステファン・バナッハは、ドイツの占領時代に、彼の専門分野で働く代わりに、非人道的な医学実験の対象になりました...
デーンは少し幸運でした：彼は最悪の事態が始まる前の最後の瞬間になんとか去ることができました。1939年の初めに、彼はドイツからノルウェーに移り、そこで仕事を見つけました。ナチスがノルウェーを占領したとき、彼は世界の半分以上を旅しなければならなかったが、アメリカに向けて出発しました。トランスシベリア鉄道、次にウラジオストクから海路で日本に移動し、最後に日本から太平洋を横断する船で米国に移動します。
マックス・デーンと彼の妻は1941年の初めに彼らの新しい故郷に到着しました。最初の数年間は彼にとって容易ではありませんでした。彼は、ある低レベルの大学の学生に少額の給料で教えなければなりませんでした。しかし、1945年、彼はノースカロライナ州のブラックマウンテンカレッジで働くことを認められました。それは、1933年に独立した大学として設立された非常に独特な教育機関であり、構造はコミューンに似ています。大学でのすべての管理上の決定は、学生と教師の総会で行われました。学生と教職員は、森の真ん中にあるキャンパスに永久に住んでいました。彼らは一般的な食堂で食事をしました、そしてこれらの食堂のための食物は大学の農場で育てられました。そこではフィールドワークが（研究と教育と共に）再び教師と学生によって行われました。
ブラックマウンテンカレッジは認定されておらず（したがって正式な学位を発行していませんでした）、永久に資金が不足しており、デーンにはほとんど支払われていませんでしたが、彼は仕事を楽しんでいたようです。デーンは学生に数学だけでなく、ラテン語とギリシャ語の哲学も教え、彼らと一緒にハイキングに行き、彼らが今言うように、生態学に従事しました（彼は周囲の森林を伐採することと戦いました）...1952年にマックス・デーンは引退しました。彼は引き続きキャンパスに住み、コンサルタントを務める予定でしたが、翌月、心臓発作で亡くなりました。デーンは大学のキャンパスがあったのと同じ森に埋葬されました。
マックス・デーンの名前は数学に残っています。Dehn twist、Dehn surgeryは、トポロジーにおいて重要な役割を果たしています。