物理現象に隠れているπ

YouTubeにある動画について．たいへん興味を引く動画なので，ぜひご覧ください．この動画の発信元3Blue1Brownは，Grant Sandersonが作ったYouTubeのチャンネルで，なかなかよくできた可視化された数学入門です．

動画は，物体mは静止しており，物体Mは初速度v0で摩擦のない台上を滑る所から始まります．
Mやmはそれぞれの物体の質量（M>m）で，左側は壁です．
衝突はすべて弾性衝突とすると，エネルギー保存（１）と運動量保存（２）が成り立ちます．

（１）は楕円の式ですが

の変数変換をすれば，新しい変数v3を採用したv1，v3平面では半径v0の円になります．
（２）は，2つの物体m,Mが衝突したとき2つの物体から成る系全体の運動量が保存される（運動量変化が０）ことを示しています．こちらの式も，v2からv3へ変数変換すると，v1，v3平面で傾き-√M/mの直線になります．物体mとMの衝突後に分配される速度変化⊿v1と⊿v2の比は，それぞれの質量に反比例するわけですが，質量mの速度v2を変換したv3に対しては，v1，v3の速度変化の比はそれぞれの質量の平方根に反比例します(2')．つまり，v3＝－√(M/m）v1＋C　で，傾き-√(M/m）の直線です．

物体mが壁と衝突するときは，壁は動きませんから，v3の符号のみ変えます．横軸を速度v1，縦軸を速度v3としてグラフを描くと，
式（１'）は，半径がv0の円で，エネルギーが保存される系の状態はいつもこの円上にあるべきです．式（２'）は運動量保存を示すグラフで，（-v0, 0）の点から出発し傾きー√(M/m)の直線です．
この直線が円と交差する点が，物体mと物体Mの最初の衝突後の速度v1，v3の状態です．
その後，物体mはそのまま滑り壁に衝突し，v3だけが符号を変えます．これは，最初の衝突点のv3の符号を変えた円上の点になります．
このように続けると，円内に納まるのこぎり歯状のグラフができます．

衝突のたびに円周上の，のこぎり歯の先の状態を移るわけで，衝突回数を求めることができます．
YouTubeのアニメーションのように，Mの質量を増加させると，直線（１'）の傾きが急になり，のこぎり歯が細かくなるので衝突回数は増加します．
きちんと計算すると，tanθ＝√(m/M)として，衝突回数Nは，N=２［π/2θ］となり，Mが大きくなればなるほど，Nは大きくなります．（記号［］は数値の整数部分をとる）

m/M＝10^{-2p}とおくと，Mが大きくなる（p→∞）のとき，N→π×10＾pの整数部分になります．

◆残念ながら，Noteでは数式の表示ができません．上添字，下添字が使えないのが欠点です．そのためこの記事にも添字の不統一があります．TEXを用いて見やすい数式に直した記事は「数学月間の会」http://sgk2005.saloon.jpにあります．ぜひそちらもご訪問ください．