数と代数系について
始まりは整数の集合
ものを数える数1,2,3,4,..…は自然数と言います。整数は正の整数（自然数）、ゼロ（０）、および、負の整数の集合です。整数集合上で、加算と乗算はできます。つまり、任意の整数の和（加算）は、やはり整数。任意の整数の積（乗算）は、やはり整数になるので、整数集合は、加算や乗算について閉じています。これを、加法（あるいは乗法）について、整数は「環」をなす（整数環）といいます。同じ演算が続いているときには、どちらを先にやっても結果は同じだということを結合的と言います。加算や乗算は結合的です。例えば、$${a+b+c=a+(b+c)=(a+b)+c}$$。
さらに、$${a\times (b+c)=a\times b+a\times c}$$という分配則を定義すると、この集合上で加算と乗算という2種類の演算の両方を行うことができます。
「群」と言う代数系は「環」に条件を２つ追加したものです。整数環の集合を例にすると、加法演算でこの集合は閉じており、演算の結合法則も成立しています。これが加法群になるかどうか、単位元の存在と逆元の存在を調べましょう；①加法の単位元0は整数の集合に存在します。②それぞれの要素の逆元は、正負の符号を変えればよいので、もちろん整数の集合には存在します。従って整数の集合は「環」であると同時に「加法群」でもあるわけです。乗法に関しては、単位元１は存在しますが、逆元がない要素もありますので、この集合は「乗法群」にはなりません。
有理数の集合
整数の集合上で、加算の逆演算「減算」はできるのですが、乗算の逆演算「除算」はできません。任意の２つの整数の間での除算の結果が整数になるとは限らないからです。そこで、整数の集合に分数を追加し拡張した新しい集合を考えると、この集合では、四則演算ができるようになります。整数は分数の特殊なケースですから、この拡張された集合は、分数の集合、つまり「有理数」集合です。
有理数の集合内で、四則演算は自由にできます。このような代数系を「体」と言います。
実数の集合
数直線上に分数を並べたとすると、任意の２つの分数の間に、また分数を作ることができ、これは際限なく続けられますから数直線は分数でぎっしり詰まっているように見えます。古代ギリシャでは数直線上のすべての数字は有理数（分数）であると信じていました。しかし、ピタゴラス派は$${\sqrt{2}=1.414･･･}$$は分数で表せないことを発見し慌てました。MetapontumのHippasusはその秘密を守るために殺されたと言います。分数を小数で表現すると、無限に続く場合でも必ず有限の繰り返しが現れます：3/11=0.272727･･･。しかし、$${\sqrt{2}}$$や, $${\pi=3.14159265････}$$などは、繰り返しが現れることがないのです（この小数は分数で表現できません）。それらは無理数と呼ばれます。数直線上には、このような無理数もたくさんあります。そこで、有理数と無理数の集合を合わせて実数の集合ができます。数直線は実数の集合で出来ています。実数の集合は「体」です。有理数の集合は実数の集合の中に含まれ、「体」の条件を満たします。
定規とコンパスで作図不可能
(1)与えられた円と同じ面積の正方形を作図：
(2)与えられた立方体のちょうど2倍の体積の立方体を作る
(3)任意の角度の3等分の角度を作図
これらはギリシャ時代から研究されている有名な問題です。立方体の倍積問題はデロス問題ともいわれます。問題の起源にデロス島のアポロンの祭壇が関係するからです。（表紙写真）
任意の角度の3等分や立方体の倍積問題は、整数係数（有理数係数といっても同じ）の3次方程式を解く問題になります。定規とコンパスを有限回使っての作図は、四則演算と開平（平方根）の作図ですから、3次方程式の解が係数の四則演算と開平の組み合わせで表示できなければ作図は不可能です。現実には、どちらも3乗根が出てきますから作図はできません。
(1)の問題に関しては、半径1の円の面積は$${\pi}$$ですから、面積が等しい正方形の一辺は$${\sqrt{\pi}}$$で、$${\pi}$$の長さでさえ作図できません。
これらの問題に対する解は実数集合には存在しますが、有理数への四則演算と開平だけでは解が作れないということです。
実数集合まで数の概念を広げると色々な方程式が解をもつことができます。
整数係数（有理数係数）の多項式方程式、例えば
$${3x^2+5x-1=0}$$などは2次方程式の例です。2次方程式、3次方程式、4次方程式の解の公式は16世紀までに解かれましたが、一般の５次方程式あるいはそれ以上の方程式の解の公式は作れないことの証明はアーベルの時代までかかりました。
複素数の完成
$${x^2+1=0}$$は解がありません。なぜなら、2乗して負になるような数は実数にはないからです。この方程式も解を持つようにするには$${x=\sqrt{-1}=i}$$という虚数を定義する必要があります。こうして複素数の集合にたどり着きました。複素数は「体」の代数構造です。複素数の範囲で、ほとんどの方程式が解をもつようになりました。