互に伝達し合う2つのグループでの実効再生産数Rについて，by Rachel Thomas and Marianne Freiberger

私たちは，感染の実効再生産率Rに関心があります．感染した人が感染させる平均人数のことですが，Rが1より大きいと，感染数は指数関数的に増加し，COVID-19のような危険な病気では多数の死者を出します．Rが1未満で，その状態が続くなら，新しい感染数は徐々に少なくなり，流行は終わります．
世界中の国々でロックダウンが行われた理由は，実効再生産数Rを1未満に減らすためです．
特定の場所や社会の特定の部分を見ると，Rの値が全体社会と異なる場合があります．たとえば，介護施設や病院でのRの値は 平均よりも高い．
社会，病院，介護施設のR値は，それぞれで定義される値では実際には合わず，R値の危険な過小評価につながります．それは，実際には制御されていないのに，疾患が制御下にあると想定することにもつながります．この理由は，住民，地域社会の人々，病院の人々が完全に孤立しているわけではないためです．

例えば，社会のR値が2であり，感染者は社会の平均2人に感染させ，病院のR値は3であり，病院にいる感染者は平均で3人に感染させるとします．
この2つのグループ間にも接触があることを考慮する必要があるので，つまり，平均して，社会の1人は病院の1人にも感染させるとします（社会の2人に感染させるに加えて）．同様に，病院の人が平均して社会の1人に感染させるとします（彼らが病院で感染させる3人に加えて）．

上の図からわかるように，地域の人と病院の人が一緒に7人に感染させます． つまり，この新しい感染の最初のラウンドでは，1人あたり平均7/2 = 3.5の新しい感染があります．

これを続けると，新しい感染と前のステップの感染の比率が25/7 = 3.57に増加することがわかります（下の図を参照）．さらに続けると，最終的にRの全体的な値は3.62になります．重要なことは，これはRの個々の値である2や3よりも高いのです．

誤った安心感
相互作用を考慮した全体的なR値が個々の部分集団の値のいずれよりも高いという事実は，個々の値がすべて1未満の場合に特に顕著になります．その場合，病気は制御下にあり，ロックダウンを緩和することを決定するかもしれません．ただし，Rの全体的な値はまだ1より大きい場合があり，新たな指数関数的成長と流行の2番目のスパイクにつながります．

ここに，現実的な数値を使用した例があります．ロックダウン中の社会の実効再生産数は現在1未満である，例えば0.8としましょう（病気の人が1000人たとしたら，平均して，800人に感染させる）．そして，病院や介護施設内の感染症の実効再生産率は，少し低く0.7としましょう．これらの数値は，どちらも1未満であるため，現在は疾患を制御しており，通常の生活に戻り始めると信じることにつながる可能性があります。

しかし，2つのグループ間の感染はどうでしょうか？合理的な仮定は，地域社会での感染が続いて病院で0.4の新しい感染を引き起こし，病院での感染が地域で0.2の新しい感染を引き起こす可能性があることです．これで，病院内，社会内，および，病院から社会，社会から病院に伝達する感染の4つの係数が定義できます．

これらの数値はすべて1未満であるため、疾患が現在制御されているように見えるかもしれません．しかし，残念ながらそうではありません．母集団全体のR値は，この例ではR = 1.04です．展開例を確認するには，アニメーションをご覧ください．全体的な実効再生産数を大きくするのは，2つの設定間の伝達と，最も感染が多い場所（病院か地域社会か）のバランスです．

ここで特定の例を使用して説明したことは，一般的に当てはまります．全体の実効再生産数Rは、異なる母集団セグメント内の個々の実効再生産数よりも常に大きくなります．これからの教訓は，集団の一部，または集団の各部分内でさえも疾患が制御下にある場合でさえ，それらの間の伝達が伝染病を拡大させる可能性があるということです．

（注）これを計算するための数学には，線形代数の学部レベルの概念がいりますので，別の機会に説明します．