解析入門Ⅰ 第Ⅳ章積分法 §５一変数函数の積分 大問1 問題の解法
間違いがあればコメントで教えていただければ幸いです。
$${\bf 1)}$$次の定積分の値を計算せよ。（$${a>0}$$は定数）
$${(\mathrm{i}) \displaystyle \int^\frac{\pi}{2} _0 \frac{\sin x}{1+\cos x} dx}$$
$$
ここで \cos x =tと置換すると、\dfrac{dt}{dx} =-\sin x、\def\arraystretch{1.3}\begin{array}{c:c}x&0\to\dfrac{\pi}{2}\\\hline t&1\to 0\end{array} \\ \begin{array}{}よって\displaystyle \int^\frac{\pi}{2}_0 \dfrac{\sin x}{1+\cos x} dx=\int^0_1 \dfrac{-dt}{1+t}&=& \displaystyle \int^1_0 \dfrac{dt}{1+t}\\&=& [\ln|1+t|]^1_0 \\&=&\ln2\end{array}
$$
$${(\mathrm{ii}) \displaystyle\int^a_0 \sqrt{2ax-x^2}\,dx}$$
$$
\displaystyle\begin{aligned}\int^a_0 \sqrt{2ax-x^2}\,dx&=\int^a_0 \sqrt{-(x^2-2ax+a^2)+a^2}\,dx\\&=\int^a_0 \sqrt{-(x-a)^2+a^2}\end{aligned}\\\begin{aligned}ここでx-a=tと置換すると、\\\int^0_{-a} \sqrt{a^2-t^2}\,dt&=\dfrac{1}{2}\left[ t\sqrt{a^2-t^2}+a^2\arcsin \dfrac{t}{a} \right]^0_{-a}\\&=\dfrac{1}{2} \left( -a^2\arcsin(-1)\right)=\dfrac{\pi a^2}{4}\end{aligned}
$$
$${(\mathrm{iii}) \displaystyle\int^\pi_0 \left|\sin 2\theta\right|\,d\theta}$$
$$
\begin{aligned}\displaystyle\int^\pi_0 \left|\sin 2\theta\right|\,d\theta\;&=\int^\frac{\pi}{2}_0 \sin 2\theta\,d\theta\,+\int^\pi_\frac{\pi}{2}-\sin 2\theta\,d\theta\\&=\left[-\dfrac{1}{2}\cos 2\theta\right]^\frac{\pi}{2}_0+\left[\dfrac{1}{2}\cos 2\theta\right]^\pi_\frac{\pi}{2}=2\end{aligned}
$$
$${(\mathrm{iv}) \displaystyle\int^{2\pi}_0 e^{inx}\,dx\,(n\isin\Z)}$$
$$
n\not=0のとき、オイラーの公式より\\\begin{aligned}\displaystyle\int^{2\pi}_0 e^{inx}\,dx\,&=\int^{2\pi}_0\left(\cos nx+i\sin nx\right)dx\\&=\left[\dfrac{1}{n}\sin nx-\dfrac{i}{n}\cos nx\right]^{2\pi}_0=0\end{aligned}\\n=0のとき、\displaystyle\int^{2\pi}_0 e^{0}\,dx\,=2\pi
$$
$${(\mathrm{v}) \displaystyle\int^{2\pi}_0 \cos mx\sin nx\,dx\,=\int^{2\pi}_0 \sin mx\cos nx\,dx\;(m,n\isin\N)}$$
$$
三角関数の積和公式より、\\\displaystyle\int^{2\pi}_0\cos mx\sin nx\,dx\,=\dfrac{1}{2}\int^{2\pi}_0\Big((\sin (n+m)x+\sin (n-m)x\Big )dx\\ n\not=mのとき、\\=\dfrac{1}{2}\bigg[-\dfrac{1}{n+m}\cos(n+m)x-\dfrac{1}{n-m}\cos (n-m)x\bigg]^{2\pi}_{0}=0\\n=mのとき\\=\dfrac{1}{2}\int^{2\pi}_0\sin2nx\ dx=\dfrac{1}{2}\left[-\dfrac{1}{2n}\cos2nx\right]^{2\pi}_0=0
$$
$${(\mathrm{vi}) \displaystyle\int^{2\pi}_0 \cos mx\cos nx\,dx\;(m,n\isin\N)}$$
$$
三角関数の積和公式より、\\\displaystyle\int^{2\pi}_0\cos mx\cos nx\,dx\,=\dfrac{1}{2}\int^{2\pi}_0\Big(\cos (n+m)x+\cos (n-m)x\Big )dx\\n\not=mのとき、\\=\dfrac{1}{2}\bigg[\dfrac{1}{n+m}\sin(n+m)x+\dfrac{1}{n-m}\sin (n-m)x\bigg]^{2\pi}_{0}=0\\n=m\not=0のとき\\=\dfrac{1}{2}\int^{2\pi}_0\Big(\cos2nx+1\Big)\ dx=\dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{2n}\sin2nx+x\right]^{2\pi}_0=\pi\\n=m=0のとき\\=\int^{2\pi}_0 dx=2\pi
$$
$${(\mathrm{vii}) \displaystyle\int^{2\pi}_0 \sin mx\sin nx\,dx\;(m,n\isin\N)}$$
$$
三角関数の積和公式より、\\\displaystyle\int^{2\pi}_0\sin mx\sin nx\,dx\,=\dfrac{1}{2}\int^{2\pi}_0\Big(\!-\cos (n+m)x+\cos (n-m)x\Big )dx\\n\not=mのとき、\\=\dfrac{1}{2}\bigg[-\dfrac{1}{n+m}\sin(n+m)x+\dfrac{1}{n-m}\sin (n-m)x\bigg]^{2\pi}_{0}=0\\n=m\not=0のとき\\=\dfrac{1}{2}\int^{2\pi}_0\Big(\!-\cos2nx+1\Big)\ dx=\dfrac{1}{2}\left[-\dfrac{1}{2n}\sin2nx+x\right]^{2\pi}_0=\pi\\n=m=0のとき\\=\dfrac{1}{2}\int^{2\pi}_0(1-1) dx=0
$$