解析入門Ⅰ 第Ⅳ章積分法 §５一変数函数の積分　大問6 問題の解法

間違いがあればコメントで教えていただければ幸いです。

$${\bf{6})}$$$${\displaystyle fが連続、\varphi,\psiが微分可能ならば\\\hspace{15mm}\dfrac{d}{dx}\left(\int^{\varphi(x)}_{\psi(x)}f(t)\,dt\right)\!=f\big(\varphi(x)\big)\varphi^{\prime}(x)-f\big(\psi(x)\big)\psi^{\prime}(x)\\が成立つことを証明せよ。}$$

$$
\displaystyle \begin{aligned}proof)\quad &f(x)の原始関数をF(x)とする。\\&\int^{\varphi(x)}_{\psi(x)}f(t)\,dt=\Big[F(t)\Big]^{\varphi(x)}_{\psi(x)}=F\big(\varphi(x)\big)-F\big(\psi(x)\big)\end{aligned}\\\begin{aligned}\hspace{15mm}\therefore\dfrac{d}{dx}\left(\int^{\varphi(x)}_{\psi(x)}f(t)\,dt\right)&=\dfrac{d}{dx}\Big(F\big(\varphi(x)\big)-F\big(\psi(x)\big)\Big)\\&=f\big(\varphi(x)\big)\varphi^{\prime}(x)-f\big(\psi(x)\big)\psi^{\prime}(x)\end{aligned}
$$