1.6 不等式

後藤憲一『現代科学における数学概説』(共立出版、1981)の勉強ノート。

前回

[1] 代数不等式

Cauchy-Schwarz、Hölder、Minkowskiの不等式を実数、複素数を対象にそれぞれ紹介するが、複素数に関しては絶対値を取った式ばかりであり、複素数特有の難しさは生じない。また、等号成立条件はどれも同じ。Cauchy-Schwarzの一般化がHölderで、三角不等式の一般化がMinkowskiの不等式。

Cauchy-Schwarzの不等式
(1) $${a_i, b_i}$$が実数の時
$${(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \leq ({a_1}^2 + {a_2}^2 + \cdots + {a_n}^2) ({b_1}^2 + {b_2}^2 + \cdots + {b_n}^2)}$$
等号成立は$${a_1 / b_1 = a_2 / b_2 = \cdots = a_n / b_n}$$の時
(2) $${a_i, b_i}$$が複素数の時
$${|a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n|^2 \leq (|a_1|^2 + |a_2|^2 + \cdots + |a_n|^2) (|b_1|^2 + |b_2|^2 + \cdots + |b_n|^2)}$$
等号成立は$${a_1 / \overline{b_1} = a_2 / \overline{b_2} = \cdots = a_n / \overline{b_n}}$$の時

複素数の場合、ベクトル(や関数)の内積の定義で片方の複素共役を取ることになるので、左辺が複素共役を用いて書かれることがある、即ち
$${|a_1 \overline{b_1} + \cdots + a_n \overline{b_n}|^2 \leq (|a_1|^2 + \cdots + |a_n|^2) (|b_1|^2 + \cdots + |b_n|^2)}$$
であるが、当然左辺が異なる。これは$${a_i}$$と$${\overline{b_i}}$$に対して不等式を適用し、$${|b_i|^2 = |\overline{b_i}|^2}$$であることを利用すれば得られる式である。

Hölderの不等式
(1) $${a_i, b_i}$$が実数の時
$${a_i \geq 0, b_i \geq 0}$$, $${p>1}$$, $${1/p + 1/q = 1}$$の時
$${\sum a_i b_i \leq (\sum {a_i}^p)^{1/p} (\sum {b_i}^q)^{1/q}}$$
等号成立は$${{a_1}^p / {b_1}^q = \cdots = {a_n}^p / {b_n}^q}$$
$${p=q=2}$$の時、2乗するとCauchy-Schwarzの不等式となる。
$${p < 1  (p \neq 0)}$$の時は不等号の向きが変わる。
(2) $${a_i, b_i}$$が複素数の時
$${p>1}$$, $${1/p + 1/q = 1}$$の時
$${|\sum a_i b_i| \leq (\sum |a_i|^p)^{1/p} (\sum |b_i|^q)^{1/q}}$$

数学概説とは異なり、多くの本では$${\sum |a_i b_i| \leq (\sum |a_i|^p)^{1/p} (\sum |b_i|^q)^{1/q}}$$と書かれているようである。数学概説では更に$${|\sum a_i b_i| \leq \sum |a_i b_i|}$$を用いて上の式を導出している。

複素数の冪乗は$${z^a = e^{a \log z}}$$により定義されるが、これは数学概説では未出。複素関数の章を待つことになる。$${\log z}$$は$${z = r e^{i \theta}}$$と変形し、$${\log z = \log (r e^{i \theta}) = \log r + i (\theta + 2 \pi n)}$$のように計算する。しかしここでは絶対値を取っているので、複素関数の冪乗は不要。このような複素関数の冪乗に関する注意書きはde Moivreの定理を書いた時にすべきであった(その段階では複素数の有理数乗しか定義されていないので)。

Minkowskiの不等式
(1) $${a_i, b_i}$$が実数の時
$${a_i \geq 0, b_i \geq 0}$$, $${p>1}$$の時
$${ \{ \sum (a_i + b_i)^p \}^{1/p} \leq (\sum {a_i}^p)^{1/p} + (\sum {b_i}^p)^{1/p}}$$
等号成立は$${{a_1}^p / {b_1}^q = \cdots = {a_n}^p / {b_n}^q}$$
$${p < 1  (p \neq 0)}$$の時は不等号の向きが変わる。
(2) $${a_i, b_i}$$が複素数の時
$${p>1}$$の時
$${ \{ \sum |a_i + b_i|^p \}^{1/p} \leq (\sum |a_i|^p)^{1/p} + (\sum |b_i|^p)^{1/p}}$$

三角不等式
Minkowskiの不等式で$${p = 2}$$としたもの。
(1) 実数の時
$${ \{ \sum (a_i + b_i)^2 \}^{1/2} \leq (\sum {a_i}^2)^{1/2} + (\sum {b_i}^2)^{1/2}}$$
(2) 複素数の時
$${ \{ \sum |a_i + b_i|^2 \}^{1/2} \leq (\sum |a_i|^2)^{1/2} + (\sum |b_i|^2)^{1/2}}$$

[2] 積分不等式

積分は和の極限として定義される為、代数不等式で挙げられた不等式に対応する積分不等式が存在する。複素共役や絶対値の位置等の注意事項は代数不等式の場合と同様。
その他、数学概説ではBesselの不等式とParsevalの等式がここで紹介されるが、工学教程では偏微分方程式[1]の固有関数展開で導入される数式であり、ここで書かれるべきものかは分からない。また、Besselの不等式になるかParsevalの等式になるかの基準が関数系が完全であるかにあるということが述べられてもいない。本稿では工学教程を参考に補ったが、5章の直交関数系の冒頭で述べられていることなので、これらはここでは削っても良い内容だと思える。

Cauchy-Schwarzの不等式
$${f(x), g(x)}$$は区間$${[a,b]}$$で定義された複素数値連続関数とすると
$${\begin{vmatrix} \int_a^b f(x)g(x) dx \end{vmatrix}^2 \leq \int_a^b |f(x)|^2 dx \cdot \int_a^b |g(x)|^2 dx}$$

Hölderの不等式
(1) 実関数の場合
$${f(x), g(x) \geq 0}$$で、$${p>1,  1/p + 1/q = 1}$$の時
$${\int_a^b f(x)g(x) dx \leq \begin{bmatrix} \int_a^b \{ f(x) \}^p \end{bmatrix}^{1/p} \begin{bmatrix} \int_a^b \{ g(x) \}^q \end{bmatrix} ^{1/q}}$$
(2) 複素数値関数の場合
$${p>1,  1/p + 1/q = 1}$$の時
$${\begin{vmatrix} \int_a^b f(x)g(x) dx \end{vmatrix} \leq \begin{bmatrix} \int_a^b |f(x)|^p \end{bmatrix}^{1/p} \begin{bmatrix} \int_a^b |g(x)|^q \end{bmatrix} ^{1/q}}$$

Minkowskiの不等式
(1) 実関数の場合
$${f(x), g(x) \geq 0}$$で、$${p>1}$$の時
$${\begin{bmatrix} \int_a^b \{ f(x)+g(x) \}^p dx \end{bmatrix}^{1/p} \leq \begin{bmatrix} \int_a^b \{ f(x) \}^p dx \end{bmatrix}^{1/p} + \begin{bmatrix} \int_a^b \{ g(x) \}^p dx \end{bmatrix}^{1/p}}$$
(2) 複素数値関数の場合
$${p>1}$$の時
$${\begin{bmatrix} \int_a^b |f(x)+g(x)|^p dx \end{bmatrix}^{1/p} \leq \begin{bmatrix} \int_a^b |f(x)|^p dx \end{bmatrix}^{1/p} + \begin{bmatrix} \int_a^b |g(x)|^p dx \end{bmatrix}^{1/p}}$$

重み関数$${w(x) > 0}$$が与えられた時、$${w(x)}$$を重み(荷重)とする関数$${f, g}$$の内積は$${(f,g) = \int_a^b \overline{f(x)} g(x) w(x) dx}$$である。
関数$${\varphi_1 (x), \varphi_2 (x), \cdots , \varphi_n (x), \cdots}$$が$${w(x)}$$を重みとした正規直交系を作るとは、$${(\varphi_i, \varphi_j) = \delta_{ij}}$$となること。
この時、Besselの不等式が成り立つ。
$${(f,f) = \int_a^b \overline{f(x)} f(x) w(x) dx \geq \sum |c_i|^2}$$
但し$${c_i = (\varphi_i, f)}$$
尚、関数系が完全な時は、代わりにParsevalの等式が成り立つ。
$${(f,f) = \int_a^b \overline{f(x)} f(x) w(x) dx = \sum |c_i|^2}$$
関数系が完全であるとは、任意の連続関数$${f(x)}$$に対して次の式が成り立つことである。
$${\lim\limits_{M \to \infty} \int_a^b |f(x) - \sum_{n=1}^M c_n \varphi_n (x)|^2 w(x) dx = 0}$$

[3] 平均に関する不等式

$${a_i >0}$$とすると、$${r (\neq 0) \in \mathbb{R}}$$に対し、$r$次平均が定義される
$${M_r = \begin{pmatrix} \frac{{a_1}^r + {a_2}^r + \cdots + {a_n}^r}{n} \end{pmatrix}^{1/r}}$$
$${M_r}$$は$${r}$$に関する増加関数である。
また、$${r=-1}$$を調和平均、$${r \to 0}$$の極限が相乗平均(幾何平均)、$${r=1}$$が相加平均(算術平均)であるから
$${M_{-1} = \frac{n}{{a_1}^{-1} + {a_2}^{-1} + \cdots + {a_n}^{-1}} \leq M_0 = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leq M_1 = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}}$$
という関係が成り立つ。
$${r}$$の極限を取ると
$${\lim\limits_{r \to \infty} M_r = \max \{ a_1, a_2, \cdots , a_n \}}$$
$${\lim\limits_{r \to - \infty} M_r = \min \{ a_1, a_2, \cdots , a_n \}}$$

参考文献

[1] 佐野理：東京大学工学教程　基礎系　数学　偏微分方程式、丸善出版、2015