ペアノの公理とコラッツ群論テーブルの世代の共通点
ペアノの公理は以下の様に定義される。
自然数は次の5条件を満たす。
１，0は自然数である。
２，任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
３，0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。
４，異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
５，0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。
１，０世代（１－４－２）は、ループである。
０世代は、任意の初期値からコラッツ演算で最終的に０世代へループであるが、０世代からボトムアップではすべての世代の派生の元である。
３ｎ＋１が奇数になるまで２で割った商＝４ｎ＋１になるのは、ｎ＝０の場合しかない。
２，任意の世代a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
コラッツ群論テーブルは理論的に（自然数と同じで最大値の制限がなければ）、世代も無限大
３ｎ＋１が奇数になるまで２で割った商＝３の奇数倍を除く奇数から、その倍数である偶数と、４ｎ＋１と４ｎ＋３の奇数とその倍数である偶数で、すべての自然数を派生できる。
３，0 世代はいかなる世代の後者でもない（0 より前の世代は存在しない）。
ペアノの公理の０より前の世代は存在しないなら、３ｘ＋１のコラッツの群論テーブルもボトムアップで０世代から派生し、0 より前の世代は存在しない。
４，異なる世代は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
コラッツ群論テーブルのある世代とその中の元は、一つ前の世代から派生するため、一つ前以前の世代の元と重なることはない。
1つ前の世代の３ｎ＋１が奇数になるまで２で割った商と、４ｎ＋１のコラッツペアの行ごとにユニークであるので、世代が重ねることはない。
５，世代0 がある性質を満たし、世代a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての世代はその性質を満たす。
5番目の公理は、数学的帰納法の原理であるので、任意の数を元とするある世代ａとメルセンス数の最大値の関係は、すべての世代でその性質を満たす。
結論
したがって自然数の０から＋１～を、コラッツの３ｎ＋１のｎ＝０からn＋１～を、世代グループに分けたペアノの公理に変換すると言える。