割と簡単な加法定理の証明方法

加法定理は三角関数に於いて非常に重要な公式です。

ただ計算をするだけでなく、倍角・半角の公式、積和の公式等の導出にも使われるからです。

今回は複数ある加法定理の証明の中でも割と簡単な導出方法を紹介します。

〜予備知識〜

sin,cos,tanの求め方

sinθ/cosθ=tanθ

対頂角の性質

図形の相似条件

sin(-θ)=-sinθ、cos(-θ)=cosθのやつ

弧度法

証明するには以下の図を使います。

(角QPRの角度がαである理由は、OQとRMの交点をTとした時、

角OTMと角RTQは対頂角であるため角度が同じになり、

角RPQ=180-(90+角RTQ)

=α

となる為です)

OP=1, 0<α<π/2, 0<β<π/2, 0<α+β<π/2

とすると、以下の式が成り立ちます。

sinα=QN/OQ

sinβ=PQ/OP=PQ

cosα=ON/OQ=PR/PQ

cosβ=OQ/OP=OQ

sin(α+β)=PM/OP

=PM/1

=RM+PR

=QN+PR

=(OQ/OQ)QN+(PQ/PQ)PR

=(QN/OQ)OQ+(PR/PQ)PQ

=sinαcosβ+cosαsinβ

同様に

cos(α+β)=OM/OP

=OM/1

=ON-MN

=(OQ/OQ)ON-RQ

=(ON/OQ)OQ-(PQ/PQ)RQ

=(ON/OQ)OQ-(RQ/PQ)PQ (△OQNと△PQRは2つの角が等しく合同になるので、sinの値は約分すれば同じになります)

=cosαcosβ-sinαsinβ

tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)

=sinαcosβ+cosαsinβ/cosαcosβ-sinαsinβ

分母分子両方をcosαcosβで割ると

=tanα+tanβ/1-tanαtanβ

βがマイナスの場合

マイナスの場合はβの所を-βに置き換えれば同じ方法で求められます。

sin(α-β)=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)

=sinαcosβ-cosαsinβ

cos(α-β)=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)

=cosαcosβ+sinαsinβ

tan(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ/cosαcosβ+sinαsinβ

分母分子両方をcosαcosβで割ると

=tanα-tanβ/1+tanαtanβ

これで証明完了です。

後書き的な何か

如何だったでしょうか。図をかなり書き込む必要がありますが、ネットにある大半の証明は余弦定理やベクトルを使うものであり、この方法は前提に用いた弧度法を除いて全て数Ⅰの三角比やそれ以前の知識だけで証明をする事ができるので比較的簡単であると思います。

Oが鈍角の時は知らん

ありがとうございました。