点と直線の距離公式の証明法
noteで数式が使えるようになったようなので、試しに1記事書いてみました。
・点と直線の距離
点と直線の距離とは、2次元平面$${(x,y)}$$
において方程式$${ax+by+c=0}$$で表される直線$${l}$$及び点$${P(x_0,y_0)}$$が存在する時の$${P}$$から直線$${l}$$に下ろした垂線の長さを指します。
ここで点と直線の距離については次の公式が成立することが知られています。
点P$${(x_0,y_0)}$$と直線$${ax+by+c=0}$$の距離$${d}$$は
$$
d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
$$
となる。
ちなみに高校の教科書では以下のような証明がされていました。
・教科書での証明法
$${a\neq0}$$かつ$${b\neq0}$$とし,
垂線と直線$${l}$$との交点を$${H(x_1,y_1)}$$とする.
この時垂線PHと直線$${l}$$は直交しているから,2直線の傾きについて
$$
\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(-\frac{a}{b})=-1
$$
が成立し,$${\frac{x_1-x_0}{a}=\frac{y_1-y_0}{b}}$$が得られる.
ここで
$$
\frac{x_1-x_0}{a}=\frac{y_1-y_0}{b}=k \qquad(kは定数)
$$
とすると,$${x_1=x_0+ak}$$,$${y_1=y_0+bk}$$となり,点$${H}$$が直線$${l}$$上にある事から$${a(x_0+ak)+b(y_0+bk)+c=0}$$が成り立つ.
これを整理すると
$$
k=-\frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}
$$
となる.
垂線PHの長さを$${d}$$とすると,$${d^2=(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2=(a^2+b^2)k^2}$$となるので
$$
d^2=\frac{(ax_0+by_0+c)^2}{a^2+b^2}
$$
$${d>0}$$より
$$
d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
$$
が得られる(これは$${a,b}$$のどちらか一方が0でも成立する)
さて、上の証明については少し問題点があるように思えます。
・$${P}$$から垂線を下した先の点$${H}$$の座標$${(x_1,y_1)}$$は考えなくても証明出来るのではないか？
・突然定数$${k}$$が登場するが,なぜそうしたのかという説明が少し不十分
2番目については比例式を定数$${k}$$で置き換えることによって見通しが良くなるという例題があったのでそれを応用したものなのかもしれません。
しかし高校時代の私にはどうしてもしっくりこない解答方針だったのでどうにかして別の証明法はないだろうかと試行錯誤した思い出があります。
時を置いて、先日「点と直線の距離公式を証明出来るか」という趣旨のツイートを見かけたのでもう一度考えてみた所、以下のようにしてあっさり5分くらいで証明が出来てしまいました。
・考えた証明法
上の証明法と同様に$${a,b\neq0}$$とする.
直線$${l}$$と$${y}$$軸がなす角を$${\theta}$$とすると,
$$
\tan\theta=\pm\frac{a}{b}\qquad(0<\theta<\pi,\theta\neq\frac{\pi}{2})
$$
が成立する.
これと三角関数の関係式$${\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1}$$
及び$${1+\tan^{2}\theta=\frac{1}{\cos^{2}\theta}}$$を利用すれば
$$
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta} \\ =\sqrt{1-\frac{1}{1+\tan^2\theta}}\\=\sqrt{1-\frac{1}{1+(\pm\frac{a}{b})^2}}\\=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2+b^2}}\\=\frac{|a|}{\sqrt{a^2+b^2}}
$$
となる.
点P$${(x_0,y_0)}$$を通り$${y}$$軸に平行な直線と$${l}$$との交点をQとする.
Qのy座標は$${y_0}$$であり,$${l}$$上の点であるからQの座標は$${y_0}$$を用いてQ$${(-\frac{b}{a}y_0-\frac{c}{a},y_0)}$$と表すことが出来る.
これより線分PQの長さが
$$
|PQ|=|x_0-(-\frac{b}{a}y_0-\frac{c}{a})|=|\frac{ax_0+by_0+c}{a}|=\frac{|ax_0+by_0+c|}{|a|}
$$
で表されることがわかる.
ここで図より点Pと直線$${l}$$の距離$${d}$$について$${d=|PQ|\sin\theta}$$となることから
$$
d=|PQ|\sin\theta=\frac{|ax_0+by_0+c|}{|a|}\frac{|a|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}
$$
が成立する.
なお$${a}$$が0の時,直線$${l}$$の方程式は$${y=-\frac{c}{b}}$$で表されるからPとの距離$${d}$$は
$$
d=|y_0-(-\frac{c}{b})|=|\frac{by_0+c}{b}|=\frac{|by_0+c|}{|b|}
$$
であり,
$${b}$$が0の時直線$${l}$$の方程式は$${x=-\frac{c}{a}}$$で表されるからPとの距離$${d}$$は
$$
d=|x_0-(-\frac{c}{a})|=|\frac{ax_0+c}{a}|=\frac{|ax_0+c|}{|a|}
$$
である.これらは$${a,b\neq0}$$の時に成り立つ公式に$${b=0}$$,$${a=0}$$をそれぞれ代入した形になっているから$${a,b}$$のどちらか一方が0でも公式は成立することがわかる.
(証明終)
証明自体は教科書の方法や相似を用いた証明とさほど変わらないものだと思われます。
ただし証明に当たっての基本的な方針がより分かりやすくなっているのではないかと個人的には思っています。
誤り等ございましたらご報告お願いいたします。
追記：一応pdfも作ってたので上げときます。需要ないかもしれんけど。
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