ハイレベル理系数学～１４～

　このシリーズは、河合塾の「ハイレベル理系数学」の解答/解説に注釈をつけて、解りやすくしたものです。元の「ハイレベル理系数学（三訂版）」を見ながらでないと、このnoteだけでは何のことを書いてるか解らないです。

例題４０

（１）

• $${\displaystyle y=±x\sqrt{x-a} }$$なので、$${\displaystyle y=x\sqrt{x-a}}$$の軌跡を求めてこれに対して$${x}$$軸対称の軌跡を加える。

• $${x^2}$$は必ず$${0}$$以上なので$${x^2(x-a)}$$が$${0}$$以上になるためには、$${x>a}$$でなければならない。

• $${\displaystyle x\sqrt x=x^{\frac{2}{3}}}$$。

• $${\displaystyle y=x\sqrt{x-a}}$$だから$${y=0}$$のとき$${x=a}$$。

• $${\displaystyle y'=\left[x(x-a)^{\frac{1}{2}}\right]'=x'(x-a)^{\frac{1}{2}}+x\left[(x-a)^{\frac{1}{2}}\right]'=(x-a)^{\frac{1}{2}}+x\left\{\frac{1}{2}(x-a)^{-\frac{1}{2}}x'\right\}=(x-a)^{\frac{1}{2}}+\frac{x}{2}(x-a)^{-\frac{1}{2}}=\frac{2(x-a)^{\frac{1}{2}}(x-a)^{\frac{1}{2}}+x}{2\sqrt{x-a}}=\frac{2(x-a)+x}{2\sqrt{x-a}}=\frac{3x-2a}{2\sqrt{x-a}}=\frac{3\left(x-\frac{2}{3}a\right)}{2\sqrt{x-a}}}$$。

• $${\displaystyle y''=\left[\frac{3x-2a}{2\sqrt{x-a}}\right]'=\left[(3x-2a)\frac{1}{2}(x-a)^{-\frac{1}{2}}\right]'=\frac{1}{2}(3x-2a)'(x-a)^{-\frac{1}{2}}+(3x-2a)\left[(x-a)^{-\frac{1}{2}}\right]'=\frac{1}{2}\left\{3(x-a)^{-\frac{1}{2}}+(3x-2a){-\frac{1}{2}(x-a)^{-\frac{3}{2}}}\right\}=\frac{1}{2}\left\{\frac{3}{\sqrt{x-a}}-\frac{3x-2a}{2(x-a)\sqrt{x-a}}\right\}=\frac{1}{2}\left\{\frac{3・2(x-a)-(3x-2a)}{2(x-a)\sqrt{x-a}}\right\}=\frac{6x-6a-3x+2a}{4(x-a)\sqrt{x-a}}=\frac{3x-4a}{4(x-a)\sqrt{x-a}}=\frac{3\left(x-\frac{4}{3}a\right)}{4(x-a)\sqrt{x-a}} }$$。

• $${x>a}$$だから、$${a>0}$$のときは、$${(x-{2}{3}a)>0}$$で$${(x-a)>0}$$なので$${\displaystyle \frac{3(x-\frac{2}{3}a)}{2\sqrt{x-a}}>0}$$

• Oは曲線から孤立して存在する。

• $${x>a}$$だから、$${a<0}$$のときは、$${\displaystyle 3\left(x-\frac{4}{3}a\right) > 0 }$$で$${(x-a)>0}$$なので$${\displaystyle \frac{3\left(x-\frac{4}{3}a\right)}{4(x-a)\sqrt{x-a}}>0}$$。

（２）

• 媒介変数$${t}$$で微分すると、$${x(t)}$$も$${y(t)}$$も$${t=1}$$で増減が変化することが解る。

• $${t}$$は$${0}$$より大であるから$${0<t<1}$$の間で、$${x(t)}$$は減少して最小値が$${\displaystyle \frac{3}{2}}$$となり、$${y(t)}$$は増加して最大値は$${\displaystyle \frac{3}{4}}$$となる。また、$${\displaystyle \lim_{t=0}x(t)=∞、\lim_{t=0}y(t)=0 }$$であるから、$${x-y}$$グラフにおいて、$${x}$$は$${∞}$$から$${\displaystyle \frac{3}{2}、y}$$は$${0}$$から$${\displaystyle \frac{3}{4} }$$に変化する。

• $${t<∞}$$の間では、$${x(t)}$$は増加して最小値が$${\displaystyle \frac{3}{2}}$$となり、$${y(t)}$$は減少して最大値は$${\displaystyle \frac{3}{4}}$$となる。また、$${\displaystyle \lim_{t=∞}x(t)=∞、\lim_{t=∞}y(t)=-∞}$$であるから、$${x-y}$$グラフにおいて、$${x}$$は$${\displaystyle \frac{3}{2}}$$から$${∞、y}$$は$${\displaystyle \frac{3}{4}}$$から$${-∞}$$に変化する。

（３）

• $${\cosα=\cos(-α)}$$。

• $${r=\cos3θ}$$だから、$${\displaystyle θ=0,\frac{2π}{3}}$$のとき$${\displaystyle r=1、θ=\frac{π}{3}}$$のとき$${\displaystyle r=-1、θ=±\frac{π}{6},±\frac{π}{2},±\frac{5π}{6}}$$のとき$${r=0}$$。

例題４１

1⃣

• $${x=f(x)がただ一つの実数解を持つとき⇔x-f(x)が0になるxが1つだけ存在する}$$。

• $${\left|f'(x)\right|>1}$$だから、$${1-f'(x)>0}$$。

• $${ f(x)-f(0)=xf'(x)}$$を$${g(x)=x-f(0)-\{f(x)-f(0)\} }$$に代入して$${g(x)=x-f(0)-xf'(c)}$$

• $${g(x)=x\{1-f'(c)\}-f(0)}$$となるから、$${g(x)}$$が単調増加であり、$${1-f'(x)>0}$$なので$${\displaystyle \lim_{x→-∞}x\{1-f'(c)\}-f(0)=-∞}$$で$${ \lim_{x→∞}x\left\{1-f'(c)\right\}-f(0)=∞}$$だから、$${x\{1-f'(c)\}-f(0)=0}$$になる$${x}$$が$${1}$$つだけあると言える。

• $${f(a_n)-f(α)=(a_n-α)f'(c)}$$に、$${a_{n+1}=f(a_n)}$$と$${α=f(α)}$$を代入すると、$${a_{n+1}-α=(a_n-α)f'(c)}$$。

• $${ |f'(x)|≦k }$$だから、$${x}$$の値に拘わらず$${|f'(x)|}$$は常に$${k}$$以下なので、$${f'(c)}$$も$${k}$$以下となるから、$${|a_{n+1}-α|≦\left|(a_n-α)\right|k}$$。

• $${ 0≦\lim_{n→∞}|a_n-α|≦\lim_{n→∞}|a_1-α|k^{n-1}=0⇔\lim_{n→∞}|a_n-α|=0⇔im_{n→∞}a_n=α}$$。

2⃣_１

• $${t>0}$$のときは$${t}$$から$${0}$$が積分区間で、$${t<0}$$のときは$${0}$$から$${t}$$が積分区間。

• $${\displaystyle \log|f(t)|-\log|f(0)|=\log\frac{f(t)}{f(0)}}$$。

• $${\displaystyle \lim_{x→∞}f(0)e^{-t}=f(0)\lim_{x→∞}e^{-t}=f(0)・0=0}$$。

• $${ f(0)e^{-t} < f(t)}$$だから、$${\displaystyle \lim_{x→-∞}f(0)e^{-t}<\lim_{x→-∞}f(t)}$$で$${\displaystyle \lim_{x→-∞}f(0)e^{-t}=∞}$$だから$${\displaystyle \lim_{x→-∞}f(t)=∞}$$。

2⃣_２

• $${ \left[e^xf(x)\right]'=e^xf'(x)+[e^x]'f(x)=e^x\{f(x)+f'(x)\} }$$で、$${f(x)+f'(x)<0}$$だから、$${ [e^xf(x)]'<0}$$なので、$${e^xf(x)}$$は単調減少。

• $${e^xf(x)}$$が単調減少だから、$${x>0}$$のときは$${e^x f(x)< e^0 f(0)}$$であり、$${e^x}$$も$${0}$$より大きいから$${f(x)>0}$$なので、$${0< e^xf(x)}$$。

• $${e^xf(x)}$$が単調減少だから、$${x<0}$$のときは$${e^xf(x)>e^0f(0)}$$であり、$${e^0f(0)}$$は$${f(x)>0}$$なので$${e^0f(0)}$$も$${0}$$より大きい。

例題４２

（１）

• $${\displaystyle \frac{f(x)+f(h)}{1+f(x)f(h)}-f(x)=\frac{f(x)+f(h)-f(x)\{1+f(x)f(h)\}}{1+f(x)f(h)}=\frac{f(x)+f(h)-f(x)-f(x)f(x)f(h)}{1+f(x)f(h)}=\frac{f(h)-f(x)f(x)f(h)}{1+f(x)f(h)}=\frac{f(h)\{1-f(x)f(x)\}}{1+f(x)f(h)}}$$。

• $${\displaystyle \lim_{x→0}\frac{f(x)}{x}=1}$$なので、$${\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(h)}{h}=1}$$。

• $${\displaystyle \lim_{h→0}{f(h)}=0}$$なので、$${\displaystyle \lim_{h→0}\{1+f(x)f(h)\}=1}$$

（２）_１

• $${\displaystyle 0=\frac{f(x)+f(-x)}{1+f(x)f(-x)}}$$で、$${1+f(x)f(y)≠0}$$だから$${1+f(x)f(-x)≠0}$$なので、$${0=f(x)+f(-x)⇔-f(x)=f(-x)}$$。

（２）_２

• $${\displaystyle \frac{f(0)+f(0)}{1+f(0)f(0)}=f(0)⇔2f(0)=f(0)+f(0)f(0)f(0)⇔f(0)=\{f(0)\}^3}$$なので、$${f(0)=0}$$または、$${f(0)≠1}$$のときは$${f(0)=\{f(0)\}^3⇔1=\{f(0)\}^2}$$なので$${f(0)=±1}$$。

• $${f(x)=±1}$$だと、$${\displaystyle \lim{x→0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x→0}\frac{±1}{x}=±∞≠1}$$。

（３）_１

• $${ 1-\{f(x)\}^2=1-f(x)f(x)=1+\{-f(x)f(x)\}=1+\{f(x)f(-x)\}}$$で、$${1+f(x)f(y)≠0}$$だから$${1+\{f(x)f(-x)\}=0}$$。

• $${f(0)=0}$$だから、$${1-\{f(0)\}^2=1-0^2=1}$$。

• $${f(x)}$$は微分可能だから連続で導関数も連続。

• $${f'(x)}$$が$${0}$$にならず連続で$${f'(0)}$$が$${1}$$なので、$${f'(x)}$$は常に正であるから、$${f(x)}$$は単調増加といえる。

（３）_２

• $${|f(x)|≦1}$$だから$${ \{f(x)\}^2≦1}$$なので、$${1-\{f(x)\}^2>0}$$となるから、f'(x)>0で常に正であるから、f(x)は単調増加といえる。

例題４３

• $${ f^{(n)}(c)=K}$$とおくと、$${\displaystyle f(b)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(b-a)…＋\frac{K}{n!}(b-a)^n⇔f(b)-f(a)-\frac{f'(a)}{1!}(b-a)…=\frac{K}{n!}(b-a)^n⇔\frac{n!}{(b-a)^n}\left\{f(b)-{f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(b-a)…}\right\}=K}$$

• $${\displaystyle \left[\frac{f'(x)}{1!}(b-x)\right]'=-f'+\frac{f''(x)}{1!}(b-x) }$$

• $${\displaystyle \left[\frac{K}{n!}(b-x)^n\right]'=n\frac{K}{n!}(b-x)^{n-1}=\frac{K}{(n-1)!}(b-x)^{n-1}}$$。

• $${\displaystyle F'(x)=-\frac{f^{n}(x)}{(n-1)!}(b-x)^{n-1}-\frac{K}{(n-1)!}(b-x)^{n-1}=\frac{k-f^{n}(x)}{(n-1)!}(b-x)^{n-1}}$$。

• $${\displaystyle F(a)=f(b)-\left\{f(a)+\frac{f'(x)}{1!}(b-x)+…\right\}}$$で$${\displaystyle f(a)+\frac{f'(x)}{1!}(b-x)+…}$$が$${f(b)}$$だから、$${F(a)=f(b)-f(b)=0}$$。

• $${\displaystyle F(b)=f(b)-\left\{f(b)+\frac{f'(b)}{1!}(b-b)+…\right\}}$$で$${\displaystyle \frac{f'(x)}{1!}(b-b)+…}$$が$${b-b}$$で$${0}$$だから、$${F(b)=f(b)-f(b)=0}$$

• ロルの定理から、$${F(a)=F(b)}$$だから$${a}$$と$${b}$$の間に$${c}$$があるとき、$${F'(c)=0}$$と言える。

• $${b=c}$$でないから、$${\displaystyle \frac{K-f^{n}(c)}{(n-1)!}(b-c)^{n-1}=0⇔K=f^{n}(c)}$$。

• $${ K=f^{n}(c)}$$となる$${c}$$は$${a}$$と$${b}$$の間に少なくとも$${1}$$つは存在する。

問１２６

（１）

• $${\displaystyle f'(t)=[\log t]'\frac{1}{t}-\log t \frac{1}{t^2}=\frac{1}{t}\frac{1}{t}-\log t\frac{1}{t^2}=\frac{1-\log t}{t^2}}$$。

• $${\displaystyle f'(t)=0}$$のとき$${\displaystyle \frac{1-\log t}{t^2}=0⇔1-\log t=0⇔t=e}$$。

• $${\displaystyle \lim_{t→+0}\frac{1}{t}=∞}$$で 、$${\displaystyle \lim_{t→+0}{\log t}=-∞}$$だから、$${\displaystyle \lim_{t→+0}\frac{\log t}{t}=∞・-∞=-∞}$$

• $${\displaystyle \lim_{t→∞}\frac{\log t}{t}}$$で$${t=e^x}$$とすると$${\log t＝x}$$だから、これを代入して$${\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{x}{e^x}}$$。

• $${ x<2^x }$$だから、$${\displaystyle \frac{x}{e^x}< \frac{2^x}{e^x}}$$なので、$${\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{x}{e^x}<\lim_{x→∞}\frac{2^x}{e^x}=\lim_{x→∞}\left(\frac{2}{e}\right)^x}$$。

• $${\displaystyle -1<\frac{2}{e}<1}$$だから、$${\displaystyle \lim_{x→∞}\left(\frac{2}{e}\right)^x=0}$$なので、$${\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{x}{e^x}=0}$$。

（２）

• $${ x^{yz}=y^{zx}=z^{xy} }$$で$${\log}$$をとると、$${ \log x^{yz}=\log y^{zx}=\log z^{xy}=yx \log x=xz \log y=xy \log z}$$となるから、全体を$${xyz}$$で割ると、$${\displaystyle \frac{\log z}{z}=\frac{\log y}{y}={\log x}{x}

• $${\displaystyle w=\frac{\log t}{t}}$$のグラフから、$${w=k}$$となる点は$${w}$$が$${\displaystyle \frac{1}{e}}$$から$${0}$$の間で最大でも2箇所しかないことがわかるので、$${\displaystyle \frac{\log z}{z}=\frac{\log y}{y}=\frac{\log x}{x}}$$だとすると、このうちのうち$${2}$$つは同じ値になるので、$${x,y,z}$$のうち少なくても$${2}$$つは同じ値と言える。

（３）

• $${\displaystyle w\frac{\log t}{t}}$$のグラフから、$${\displaystyle \frac{\log t}{t}}$$が$${\displaystyle \frac{1}{e}}$$から$${0}$$の間で同じ値となる$${2}$$つ$${t}$$が整数であるときの値を求める。

• $${t=e}$$のとき$${\displaystyle w=\frac{1}{e}}$$で最大あるから、その前後の整数での$${t}$$の値を求めて比較する。$${e≒2.7}$$であり、$${t=1}$$のとき$${w=0}$$であるから、$${t=2,3,4}$$が候補となる。

• $${t=2}$$のとき$${\displaystyle w=\frac{\log2}{2}、t=3}$$のとき$${\displaystyle w=\frac{\log3}{3},t=4}$$のとき$${\displaystyle \frac{\log4}{4}=\frac{\log2^2}{4}=\frac{2\log2}{4}=\frac{\log2}{2}}$$、よって、$${x=2}$$と$${y=4}$$。

問１２７

（１）

• $${v}$$と$${u}$$は、$${y=e^{-u}}$$と$${y=a}$$との交点である。

• $${x}$$に$${u}$$を代入して$${ue^{-u}=a}$$だから両辺を微分して$${\displaystyle \{-ue^{-u}+e^{-u}\}du=1da⇔(1-u)e^{-u}\frac{du}{da}=1⇔\frac{du}{da}=\frac{1}{(1-u)e^{-u}}=\frac{e^u}{1-u}}$$。

（２）

• $${v>u}$$だから$${e^v>e^u}$$なので、$${e^v-e^u>0}$$。

• $${g'(a)}$$が常に負なので$${g(a)}$$は単調減少関数。

（３）

• $${ (v-1)^2-(u-1)^2=v^2-2v+1-(u^2-2u+1)=v^2-2v-u^2+2u=v(v-2)-u(u-2)=v(v+u-2)-u(u+v-2)=(v-u)(u+v-2) }$$

• $${g(a)}$$は単調減少だから、$${0< a< e^{-1}}$$なので、$${g(a)> g(e^{-1})}$$。

• $${xe^{-x}=e^{-1}}$$だから$${x=1}$$であり、$${\left[xe^{-x}\right]'=-xe^{-x}+e^{-x}=(1-x)e^{-x}=0}$$のとき$${x=1}$$だから、このとき$${y=a}$$と$${y=xe^{-x}}$$との交点は接点であり$${1}$$つだから、$${v=u}$$である。$${v=u}$$のとき$${ (v-1)^2-(u-1)^2=(v-1)^2-(v-1)^2=0}$$。

• $${v>u}$$だから$${v-u>0}$$で、$${g(a)>0}$$なので、$${(v-u)(u+v-2)>0}$$だから、$${u+v-2>0⇔u+v>2}$$。

• $${g(a)}$$は単調減少関数だから、$${g(0)< g(e^{-1})}$$となる。

• $${a=e^{-1}}$$のとき$${u+v>2}$$、$${a=0}$$のとき$${xe^{-x}=0}$$だから$${x=0,∞}$$なので、$${u+v=∞}$$。

問１２８

• $${\rm AH}$$が$${\rm ∠ABC}$$の垂直二等分線だから$${\rm ∠CAH}$$は$${45°}$$なので、$${\rm O}$$から$${\rm AC}$$までの距離は$${\displaystyle x\cos45°=\frac{x}{\sqrt2}}$$となり、円が$${\rm △ABC}$$と$${3}$$辺で交わるときは、これが円の半径より小さい。

• $${\rm AH}$$の長さは$${\rm ∠CAH}$$は$${45°}$$なので、$${2\cos45°=\sqrt2}$$となり、$${\rm AO}$$が$${x}$$だから$${\rm OH}$$は$${\mathrm{AH-OH}=\sqrt2-x}$$で、円が$${\rm △ABC}$$と$${3}$$辺で交わるときは、これが円の半径より小さい。

• $${\displaystyle \frac{x}{\sqrt2}<1⇔x<\sqrt2、\sqrt2-x<1⇔\sqrt2-1< x}$$

• 半径$${1}$$の円の方程式を$${u^2+v^2=1}$$とすると$${\displaystyle v=\sqrt{1-u^2}}$$となるから、これを弓形の高さ(矢高)で積分すると弓形の面積の半分になるので、$${F(t)}$$は半径$${1}$$の円における半径と弓形の高さが差$${t}$$であるときの弓形の面積である。

• $${\rm O}$$は$${\rm AH}$$上にあるので、円Cで$${\rm AC}$$の外側にある部分の面積と$${\rm AB}$$の外側にある面積は等しい。

• 円Cで$${\rm AC}$$の外側にある部分の面積は、半径と弓形の高さが差が$${\displaystyle \frac{x}{\sqrt2}}$$であるから$${\displaystyle F\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)}$$で、$${\rm AB}$$の外側と同じだから合わせて$${\displaystyle 2F\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)、\rm BC}$$の外側にある部分の面積は半径と弓形の高さが差が$${ \sqrt2-x}$$であるから$${ F\left(\sqrt2-x\right)}$$となるから、$${S}$$は円の面積$${π}$$からこれらを引いて$${\displaystyle S=π-2F\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)-F\left(\sqrt2-x\right)}$$。

• $${\displaystyle F(t)=2・\int_t^1\sqrt{(1-u)^2}du=-2・\int_1^1t\sqrt{(1-u)^2}du}$$なので、$${\displaystyle F'(t)=-2\sqrt{(1-t)^2} }$$。

• $${\displaystyle \left[-2F\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)\right]'=-2F'\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)'=\frac{-2}{\sqrt2} F' \left(\frac{x}{\sqrt2}\right)=-\sqrt 2 F'\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)}$$。

• $${\displaystyle \left[-F(\sqrt2-x)\right]'=-F'\left(\sqrt2-x\right)\left(\sqrt2-x\right)'=-(-1)F'\left(\sqrt2-x\right)=F'\left(\sqrt2-x\right)}$$。

• $${\displaystyle F'(t)=-2\sqrt{(1-t)^2}}$$に$${\displaystyle t=\frac{x}{\sqrt2}}$$を代入して$${\displaystyle -\sqrt2F'\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)=(-\sqrt2)・(-2)\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)^2}=2\sqrt2\sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{2-x^2}=2\sqrt{2-x^2}　}$$。

• $${\displaystyle F'\left(\sqrt2-x\right)=-2\sqrt{1-\left(\sqrt2-x\right)^2} }$$。

• $${\displaystyle 2\left\{\sqrt{2-x^2}-\sqrt{1-\left(\sqrt2-x\right)^2}\right\} }$$に$${\displaystyle \frac{\sqrt{2-x^2}+\sqrt{1-\left(\sqrt2-x\right)^2}} {\sqrt{2-x^2}+\sqrt{1-\left(\sqrt2-x\right)^2}}}$$を掛けると、$${1< x < \sqrt2}$$で分母は常に正であるから、分子が$${0}$$になるときに$${\displaystyle  \frac{dS}{dx}}$$が$${0}$$になる。

• $${ \displaystyle 2\left\{\sqrt{2-x^2}-\sqrt{1-\left(\sqrt2-x\right)^2}\right\}・\left\{\sqrt{2-x^2}+\sqrt{1-\left(\sqrt2-x\right)^2}\right\} = 2\left[\left(2-x^2\right)-\left\{1-\left(\sqrt2-x\right)^2\right\}\right]=2\left\{2-x^2-1+\left(\sqrt2-x\right)^2\right\}=2\left(2-x^2-1+2-2\sqrt2x+x^2\right)=2\left(2+2-1-2\sqrt2x\right)=2\left(3-2\sqrt2x\right) }$$になるので、$${\displaystyle x=\frac{3}{2\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{4} }$$のとき、$${\displaystyle \frac{dS}{dx}=0}$$で$${S}$$が最大になる。

問１２９

（１）

• 正$${n}$$角形は、その外接円の半径を$${r}$$とすると、$${2}$$辺を$${r}$$としその夾角が$${\displaystyle \frac{2π}{n}}$$の二等辺三角形を$${n}$$並べたものである。

• 正$${n}$$角形の周の長さが$${l}$$であるから$${1}$$辺は$${\displaystyle \frac{l}{n}}$$となるから、$${\displaystyle r\sin\left(\frac{π}{n}\right)=\frac{1}{2}\frac{l}{n}⇔r=\frac{l}{2n\sin\left(\frac{π}{n}\right)}}$$。

• $${2}$$辺を$${r}$$としその夾角が$${\displaystyle \frac{2π}{n}}$$の二等辺三角形の面積は$${\displaystyle \frac{1}{2}r^2\sin\frac{2π}{n}}$$なので、正$${n}$$角形はこれが$${n}$$個あるから、その面積$${\displaystyle S_n=\frac{n}{2}r^2\sin\frac{2π}{n} }$$となるから、これに$${\displaystyle r=\frac{l}{2n\sin\left(\frac{π}{n}\right)}}$$を代入して、$${\displaystyle S_n=\frac{n}{2}\frac{l^2}{4n^2\sin^2\left(\frac{π}{n}\right)}\sin\frac{2π}{n}}$$となる。

• 二倍角の公式から$${\displaystyle \sin\frac{2π}{n}=2\sin\frac{π}{n}\cos\frac{π}{n}}$$なので、これを$${\displaystyle S_n=\frac{n}{2}\frac{l^2}{4n^2\sin^2\left(\frac{π}{n}\right)}\sin\frac{2π}{n}}$$に代入して$${\displaystyle S_n=\frac{n}{2}\frac{l^2}{4n^2\sin^2\left(\frac{π}{n}\right)}2\sin\frac{π}{n}\cos\frac{π}{n}=\frac{l^2}{4n}\frac{\cos\frac{π}{n}}{\sin\frac{π}{n}}}$$。

（２）

• $${\displaystyle \frac{l^2}{4n}=\frac{l^2}{4π}\frac{π}{n}}$$。

• $${\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{\frac{π}{n}}{\sin\frac{π}{n}}}$$において、$${\displaystyle \frac{π}{n}=x}$$とすると、$${n→∞}$$のとき$${x→0}$$なので、$${\displaystyle \lim_{n→∞}\frac{\frac{π}{n}}{\sin\frac{π}{n}}=\lim_{x→0}\frac{x}{\sin x}=1}$$。

• $${\displaystyle \lim_{n→∞}\cos\frac{π}{n}=\cos(0)=1}$$。

• 正$${n}$$角形で$${n→∞}$$は円である。

（３）

• $${\displaystyle \left[x\frac{\cos x}{\sin x}\right]'=\frac{\cos x}{\sin x}+x\left[\frac{\cos x}{\sin x}\right]'=\frac{\cos x}{\sin x}+x\left(\frac{-\sin x\sin x-\cos x\cos x}{\sin^2x}\right)=\frac{\cos x}{\sin x}-\frac{x}{\sin^2x}=\frac{\cos x\sin x-x}{\sin^2x} }$$。

• $${ \cos x\sin x}$$は2倍角の公式で$${\displaystyle \cos x\sin x=\frac{1}{2}\sin2x}$$なのでこれを代入して$${\displaystyle \frac{\cos x\sin x-x}{\sin^2x}=\frac{\frac{1}{2}\sin2x-x}{\sin^2x}}$$で、分母分子に2をかけて$${\displaystyle \frac{\sin2x-2x}{2\sin^2x}}$$となる。

• $${ \left[\sin2x\right]'=2\cos2x}$$なので、$${x=0}$$における接線の傾きは$${2}$$となり接線の方程式は$${y=2x}$$。

• $${\displaystyle 0< x ≦ \frac{π}{3}}$$の範囲では$${x}$$が大きくなるほど$${\sin2x}$$の接線の傾きは小さくなるので、$${ \sin2x< 2x}$$であるから、$${\sin2x-2x<0}$$。

• $${\displaystyle \frac{\sin2x-2x}{2\sin^2x}}$$において、分母は常に$${1}$$未満なので、分子の$${ \sin2x-2x<0}$$より、$${\displaystyle \frac{\sin2x-2x}{2\sin^2x}<0}$$。

• 導関数$${g'(x)}$$が負になるので原始関数$${g(x)}$$は単調減少であるから、$${n<m}$$なので$${\displaystyle \frac{π}{n}>\frac{π}{m}}$$のとき、$${\displaystyle g\left(\frac{π}{n}\right)<g\left(\frac{π}{m}\right)}$$。

問１３０

（１）

• $${\displaystyle \lim_{h→0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$$が存在すれば$${x=a}$$で微分可能。

• $${\sinθ}$$は$${θ}$$がいかなる値でも$${-1}$$以上$${1}$$以下だから、$${\displaystyle |h|^2\left|\sin\frac{1}{h}\right|≦h^2}$$。

• $${\displaystyle \lim_{h→0}\sin h=\sin0=0}$$。

（２）_１

• $${ \sin(-h)= -\sin h}$$なので、$${f(-h)=f(h)}$$だから$${f(x)}$$は偶関数である。

• $${h≒0}$$だから、$${\displaystyle \frac{\sinh}{h}-h>0}$$と言える。

• $${\displaystyle 1≧\sin\frac{1}{h}≧-1}$$は$${h}$$の値に関係なく常に成立する。

• $${f(h)}$$は$${\displaystyle \sin\frac{1}{h}}$$が最小の$${-1}$$のとき$${\displaystyle -h^3＋h\sin h=h^2\left(\frac{\sin h}{h}-h\right)}$$であるから、$${h>0}$$で$${\displaystyle \frac{\sin h}{h}-h>0}$$だから、$${\displaystyle h^2\left(\frac{\sinh}{h}-h\right)>0}$$で、$${f(h)>0}$$と言える。

• $${f(h)>0}$$と言えるので、$${x=0}$$のとき$${f(x)=0}$$が与えられているから$${f(0)=0}$$で、これが極小値と言える。

（２）_２

• $${\displaystyle \sin h>\frac{2h}{π}}$$で両辺にhをかけると、$${\displaystyle h\sin h>\frac{2h^2}{π}=h^2\left(\frac{2}{π}\right)}$$。

問１３１

【解答１】

• $${\displaystyle f^{n-1}(x)=g(x)}$$とすると、$${\displaystyle f^{n}(x)}$$は$${1}$$回微分が多いから、$${\displaystyle f^{n}(x)=g'(x)}$$である。

• $${C_1}$$と$${C_2}$$の交点の$${x}$$座標と$${t}$$とすると、$${y}$$座標は$${C_1}$$から$${tg(t)}$$で$${C_2}$$から$${g'(t)}$$と求まるから、これが同一なので、$${tg(t)=g'(t)}$$

• 接線が直交するのであれば、その傾きの積は$${-1}$$になるので、これを求める。

• $${\displaystyle m_1=\left[tg(t)\right]'=g(t)+tg'(t)}$$で、$${m_2=g''(t)}$$なので、$${\displaystyle m_1m_2=\left\{g(t)+tg'(t)\right\}g''(t)}$$。

• $${ tg(t)=g'(t)}$$だから、$${\displaystyle \left\{g(t)+tg'(t)\right\}g''(t)=\left\{g(t)+t^2g(t)\right\}g''(t) }$$。

• $${\displaystyle \left\{g(t)+t^2g(t)\right\}g''(t)=-g(t)\left\{(g(t)+t^2g(t)\right\}=-\left\{g^2(t)+tg(t)tg(t)\right\}=-\left\{\left(g(t)\right)^2+\left(tg(t)\right)^2\right\}=-\left\{\left(g(t)\right)^2+\left(g'(t)\right)^2\right\}=-1}$$。

【解答２】

• $${m_1}$$は$${\displaystyle \left[xf^{(n-1)}(x)\right]'_{x=t}}$$だから、$${\displaystyle \left[xf^{(n-1)}(x)\right]'=f^{(n-1)}(x)+xf^n(x)}$$で$${x=t}$$だから、$${m_1=f^{(n-1)}(t)+tf^n(t)}$$。

• $${m_2}$$は$${\displaystyle \left[f^n(x)\right]'_{x=t}}$$だから、$${\displaystyle m_2=f^{(n+1)}(t)}$$。

• $${ f(x)=\sin x}$$だから$${f'(x)=\cos x、f''(x)=-\sin x、f^{(3)}(x)=-\cos x、f^{(4)}(x)=\sin x}$$なので、$${\displaystyle f^{(n)}(x)=\sin\left(x+\frac{nπ}{2}\right)、f^{(n-1)}(x)=\cos\left(x+\frac{nπ}{2}\right)}$$

• $${\displaystyle \left\{f^{(n-1)}(t)+tf^{(n)}(t)\right\}\left(-f^{(n-1)}(t)\right)=-\left\{\left(f^{(n-1)}(t)\right)^2+tf^{(n-1)}(t)f^{(n)}(t)\right\} }$$で、$${\displaystyle tf^{(n-1)}(t)=f^{(n)}(t)}$$だから、$${\displaystyle -\left\{\left(f^{(n-1)}(t)\right)^2+tf^{(n-1)}(t)f^{(n)}(t)\right\}=-\left\{\left(f^{(n-1)}(t)\right)^2+\left(f^{(n)}(t)\right)^2\right\} }$$

問１３２

• $${x^2=4py}$$で$${(0,p)}$$が焦点だから、$${y=x^2}$$なので、$${\displaystyle p=\frac{1}{4}}$$。

• $${S(t)}$$は、台形$${\mathrm{OFP}x(t)}$$から放物線$${\rm OP}$$と$${x}$$軸と$${x=x(t)}$$でかこまれた図形の面積を引いた値。

• 台形$${\mathrm{OFP}x}$$の面積は、$${\rm OF}$$の長さが$${\displaystyle \frac{1}{4}}$$で$${\mathrm{F}x(t)}$$の長さが$${\displaystyle \left\{x(t)\right\}^2}$$で$${\mathrm{O}x(t)}$$の長さは$${x(t)}$$だから$${\displaystyle \left\{\frac{1}{4}+\{x(t)\}^2\right\}x(t)\frac{1}{2}=\frac{1}{8}x(t)+\frac{1}{2}\left\{x(t)\right\}^3}$$。

• 放物線$${\rm OP}$$と$${x}$$軸と$${x=x(t)}$$でかこまれた図形の面積は$${\displaystyle \int_0^{x(t)}x^2dx=\frac{1}{3}\left\{x(t)\right\}^3}$$。

• $${\displaystyle S(t)=\frac{1}{8}x(t)+\frac{1}{2}\left\{x(t)\right\}^3-\frac{1}{3}\{x(t)\}^3=\frac{1}{8}x(t)+\frac{1}{6}\{x(t)\}^3}$$。

• $${\displaystyle \frac{dS(t)}{dt}=\frac{dS(t)}{dx}\frac{dt}{dx}=1}$$

• $${\displaystyle \frac{dS(t)}{dx}=\left[\frac{1}{8}x(t)+\frac{1}{6}\{x(t)\}^3\right]'=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\left\{x(t)\right\}^2}$$。

• $${\displaystyle \frac{dS(t)}{dt}=\frac{1}{8}+\frac{1}{2}\{x(t)\}^2\frac{dx(t)}{dt}=1}$$で、両辺を$${8}$$倍して$${\displaystyle 1+4\{x(t)\}^2\frac{dx(t)}{dt}=8}$$。

• $${v(t)}$$は$${\rm OP}$$の$${t}$$についての$${1}$$階微分。

• $${\displaystyle \left[2x(t)\frac{dx(t)}{dt}\right]'=\left[2x(t)\right]'\frac{dx(t)}{dt}+2x(t)\frac{d^2x(t)}{dt^2}=\frac{2dx(t)}{dt}\frac{dx(t)}{dt}+2x(t)\frac{d^2x(t)}{dt^2}=2\left(\frac{dx(t)}{dt}\right)^2+2x(t)\frac{d^2x(t)}{dt^2}=2\left\{\left(\frac{dx(t)}{dt}\right)^2+x(t)\frac{d^2x(t)}{dt^2}\right\}}$$。

• $${x(t)}$$の$${t}$$についての微分は$${\displaystyle \frac{dx(t)}{dx}\frac{dx}{dt}}$$。

• $${\displaystyle \left[1+4\left\{x(t)\right\}^2\right]\frac{dx(t)}{dt}}$$を$${t}$$で微分すると、$${\displaystyle \left[1+4\left\{x(t)\right\}^2\right]'\frac{dx(t)}{dt}+\left[1+4\left\{x(t)\right\}^2\right] \frac{d^2x(t)}{dt^2} }$$

• $${\displaystyle \left[1+4\left\{x(t)\right\}^2\right]'=8x(t)\frac{dx(t)}{dt}}$$。

• $${\displaystyle 4\left\{x(t)\right\}^2+1-8\{x(t)\}^2=-4\{x(t)\}^2+1}$$。

• $${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PF}}=\overrightarrow{\mathrm{OF}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(0,\frac{1}{4}\right)-\left(x(t),\{x(t)\}^2\right)=\left(-x(t),\frac{1}{4}\{(x(t)\}^2\right)}$$。

• $${\displaystyle \left[1+4\{x(t)\}^2)\right]\frac{dx(t)}{dt}=8⇔\frac{dx(t)}{dt}=\frac{8}{1+4\{x(t)\}^2}}$$。

• $${\displaystyle \left[1+4\{x(t)\}^2\right]^3=4^3\left[\frac{1}{4}+(x(t))^2\right]^3}$$。

問１３３

（１）

• 法線の交点を求める。

• $${\rm P}$$における法線の方程式は、$${\displaystyle y-f(p)=-\frac{1}{f'(p)}(x-p)⇔f'(p)(y-f(p))=-(x-p)⇔f'(p)(y-f(p))+(x-p)=0}$$。

• $${\displaystyle \lim_{p→q}\frac{f(p)f'(p)-f(q)f'(q)+p-q}{f'(p)-f'(q)}}$$は、そのままだと$${\displaystyle \frac{0}{0}}$$の不定形になるので、$${ f(x) }$$が$${2}$$階分可能であるからロピタルの定理を用いる。

• $${\displaystyle \lim_{p→q}\frac{f(p)f'(p)-f(q)f'(q)+p-q}{f'(p)-f'(q)}}$$でロピタルの定理を用いるから、分母分子を別々に$${p}$$で微分する。

• $${f(p)f'(p)-f(q)f'(q)+p-q}$$を$${p}$$で微分すると、$${f(q)、f'(q)、q}$$は定数となるから、$${\displaystyle \left[f(p)f'(p)\right]'+1=f'(p)f'(p)+f(p)f''(p)+1=(f'(p))^2+f(p)f''(p)+1}$$。

• $${\displaystyle f'(p)(y-f(p))+(x-p)=0⇔x=p-f'(p)(y-f(p))=p-f'(p)(f(p)-y) }$$。

• $${\displaystyle \lim_{p→q}p-f'(p)(f(p)-y)=p-f'(p)f(p)-f'(p)(\lim_{p→q}y)=p-f'(p)f(p)-f'(p)(f(p)-\frac{1+{f'(p)}^2}{f''(p)}=p-f'(p)\frac{1+{f'(p)}^2}{f''(p)} }$$。

• $${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PT}}=\overrightarrow{\mathrm{OT}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(p-f'(p)\frac{1+{f'(p)}^2}{f''(p)}, f(p)+\frac{1+{f'(p)}^2}{f''(p)}\right)-\left(p,f(p)\right)=\left(-f'(p)\frac{1+{f'(p)}^2}{f''(p)},\frac{1+{f'(p)}^2}{f''(p)}\right)}$$。

• $${ f'(P)=α}$$とおいて、$${\displaystyle {α(1+α^2)}^2+(1+α^2)^2=α^2(1+α^2)^2+(1+α^2)^2=(α^2+1)(1+α^2)^2=(1+α^2)^3}$$。

（２）

• $${f(x)=\log(x)}$$のとき$${\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x}、f''(x)=-\frac{1}{x^2}}$$。

• $${ 3(u+1)^2u-(u+1)^3=3u(u+1)^2-(u+1)(u+1)^2=(u+1)^2(3u-u-1)=(u+1)^2(2u-1)}$$。