不等式の物理学：一般相対論におけるエネルギー条件

熱力学第2法則のように、物理学では本質的に不等式であることが深淵な理解を表している自然法則も多いですね。等式ばかりだと、逆に「木を見て、森を見ず」というように、個々の現象の背景にある真の全体像を掴み損ねることがあります。

多体系の古典力学は、個々の現象はニュートン方程式という「等式」だけで基本的には記述できます。しかしそれぞれの現象をそのように１つ１つ決定論的に理解しても、熱力学第２法則のような多数の現象を統合した大きな世界像は生まれてきません。個々の現象の垣根を超えた普遍性を持つ不等式の世界で初めて見えてくる物理があるのです。

曲がった時空を記述する一般相対論でも、実は不等式が物理の本質だったりします。でも「基礎方程式であるアインシュタイン方程式は等式ですよね？」と思うかもしれません。

アインシュタイン方程式

確かに方程式左辺の時空の曲率量のテンソルと、右辺の物質のエネルギーや運動量を表すテンソルが等しいという「等式」です。しかし面白いことに、それだけが物理としての本質ではないとも言えるのです。

この等式としてのアインシュタイン方程式は、実は簡単にいくらでもその解を作れます。それは勝手な時空を考えて、その勝手な計量テンソルをこの方程式の左辺に代入したものが、右辺の物質の分布を決めているとすれば良いだけです。これで出てくる右辺のエネルギー運動量テンソルは、数学的には厳密に保存もしています。

タイムマシンも含むような好きな時空の計量テンソルを用意して、それを実現する物質分布の形を決めているのがアインシュタイン方程式だと思うわけです。これらも数学的には立派な解となりますが、しかし物理としてはその多くの解に意味はありません。

一般に物質のエネルギー密度には下限があって、例えば古典力学の範疇ではエネルギー密度は負の値をとれません。量子力学を考えれば、零点振動の効果で負のエネルギー密度も現れますが、その大きさも勝手ではなく、例えば平坦な時空ならば、全エネルギーは非負であるという厳しい条件が付きます。

これらを物質のエネルギー条件と呼び、その条件は不等式で書かれます。つまり例えアインシュタイン方程式の解は作れても、際限なく物質の負のエネルギー密度が現れる時空は、実際には実現できないことを意味します。

この状況は、電荷が正負の両方の値をとれる電磁気学のマクスウェル方程式とは全く異なります。エネルギーの非負性は重要な物理を含むのです。エネルギーは時間の共役自由度でもあるので、エネルギーの非負性は「なぜ時間は一方向に流れるのか？」という時間の矢の問題にも深く関わるからです。

学部レベルでもエントロピーの熱力学第２法則と絡めて、時間の矢を理解しようとすることは一応可能ですが、なぜエントロピーは増加するのかという問題は、物質のエネルギーは正の値をとれるが負の値はとれないということにも、密接に関係してそうです。研究最前線ではそういうことも議論をされてます。

たとえば量子もつれ（量子エンタングルメント）が局所操作で壊れていく性質を単調性と呼びますが、これは局所系で量子もつれが閉じずに、相互作用によってより大域的な量子もつれへと成長していくことが原因です。つまりこの単調性は時間の矢を指定しています。

また量子的にもつれた２つの部分系において、片方の部分系にだけ時間反転をすると、できた密度行列は負の固有値を持ってしまい、もう量子状態を記述していないことも知られています。量子もつれは、時間の矢ともこのように密接に結びついています。

そしてこの量子もつれなどの量子情報に関係した相対エントロピーという量の非負性が、実はアインシュタイン方程式右辺に出てくる物質エネルギーの非負性と関係していることも、研究の最前線では知られるようになりました。コトとしての「情報」が、モノとしての「物質」のエネルギーに制限を与えているのです。

一般相対論の本質として、アインシュタイン方程式に現れる「＝」よりも、右辺の物質分布がエネルギーの非負条件を満たす「≥」のほうが、より深い物理を表していることになります。

古典的な一般相対論でも、不等式で表されるこのエネルギー条件こそが「時間の矢」を確かに生み出しています。例えば２つのブラックホールがぶつかってできる大きなブラックホールの面積においてもこのエネルギー不等式は重要です。

新しくできたブラックホールの面積は、ぶつかった２つのブラックホールの面積の合計よりも大きいという証明でも、このエネルギー条件の不等式が本質的なのです。またブラックホールの面積は、ブラックホールの熱的なエントロピーに比例していることも知られています。ですからブラックホールのエントロピーは少なくとも古典的相対論の範囲で増加するのです。（ただし量子効果をいれるとホーキング輻射が出て、ブラックホールは蒸発をし、その面積も小さくなります。この場合でも輻射とブラックホールの熱力学的エントロピーの合計は時間的に単調増加をします。）

電磁気学のマクスウェル方程式も、一般相対論のアインシュタイン方程式も、同じゲージ理論という枠組みの方程式ですが、マクスウェル方程式は「等式の物理学」、アインシュタイン方程式は「不等式の物理学」と区別することが、物理学としてはとても大切なことなのです。