堀田量子における多準位系の演繹導出について
堀田さんの書籍「入門 現代の量子力学 ～量子情報・量子測定を中心として～」（以下単に「書籍」という。）に対しては、中平さんからの、「2準位系から多準位系への拡張を（自然な前提のみから）演繹的に行うことは難しい」という批判がある。
これは、Amazonでのレビューに始まり、noteとHatena Blogで双方の見解が提示されているものであるが、話が噛み合っていないように思われる。そのため、さらに噛み合わない意見を示すのみのになる懸念は強いが、話が噛み合わない理由についての私の見解を書いておきたい。
書籍が演繹導出でないのは自明
書籍が、中平さんの演繹の用語の意味において、多準位系への拡張を演繹的に行なっていないことは、内容を理解しなくても自明と私には思われる（私は、お二方の考えの内容は理解していません。本稿は外形的なことについて述べているのみです。）。書籍では、「第3章多準位系の量子力学」の「3.2物理操作としてのユニタリー行列」の最後の方に
たとえ未知の$${N}$$準位系でも、任意の$${U^{(N)}}$$に対応する物理的な操作は実現可能だと考えよう。ただしこの前提は、飽くまでも各系において、実験で検証されるべきことである。それは量子力学自体の検証に繫がっていく。なおこの前提を認めれば、$${U^{(N)}|k \rangle}$$も状態ベクトルと見なせる。
と書かれている。論理的に導いているのではなく、単に（ある意味根拠なく）「実現可能だと考えよう。」として、その後の議論を進めているのであるから、演繹的でないことは自明と私には思われる。
複数存在する演繹の意味
それでは、堀田さんの意見が誤りなのかといえば、必ずしもそうとは限らないと思われる。堀田さんは、別のノートで、
「演繹」という言葉があります。精選版日本国語大辞典（小学館）によると
１ 一つの事柄から他の事柄へ押しひろめて述べること。「身近な事象からすべてを演繹する」
２ 与えられた命題から、論理的形式に頼って推論を重ね、結論を導き出すこと。一般的な理論によって、特殊なものを推論し、説明すること。
とされている言葉です。数学における「演繹」ならば、基本的にはこの２番目の説明となるでしょう。しかし実証科学の物理学における「演繹」ならば、与えられた命題の妥当性も検討しなくてはなりません。実験観測を通じて検証できる命題でなければ、空理空論になってしまうためです。その意味では１番目の説明に出てくる「身近な事象」を実験や観測の結果とみなすことができるでしょう。その確かめられた事実や少なくと実証可能な要請を作業仮説として命題化し、「一つの事柄から他の事柄へ押しひろめて述べる」のが物理学とも言えます。
と書いている。この趣旨は分かりにくいのであるが（たぶんできるだけわかりやすくと思って書かれたと思うので分かりにくいという見解には堀田さんは同意できないとは思うが）、堀田さんの「演繹」は、2.の意味ではないことは明確であろう（堀田さんの演繹の意味は1.と読んでしまえば話はここで終わりであるが、それは私にははばかられる。）。一方で、中平さんは2.の意味で演繹を用いていると思われる。話が噛み合わない理由の一つはここにあるのではないかと思われる。
仮説演繹法
堀田さんの記載を読んでいると、堀田さんがいう「演繹」は、仮説演繹法に近いものではないかと思われる。Wikipediaでは、仮説演繹法は、
既知の事実に基づいて新たな仮説を立てて、その仮説から演繹して予測し、それを主張として論証し、実験や観察をして確かめるという方法
と説明されている。堀田さんは、
ここで紹介した手順は未知の物体Ｘが量子力学を満たす対象であるかないかを確定させられるものだと分かりました。これは実証科学の物理学における典型的な「演繹」の例にもなっています。
とも書いている。未知の物体Ｘが量子力学を満たす対象であるかないかを確定することは、決して2.の意味で演繹ではないが、仮説演繹法で行うことの中には含まれる。堀田さんは、
実験結果からボルン則が演繹されるのです。
とも書いており、実験結果から何かが演繹されるというのは、2.の演繹の定義とは明らかに矛盾する。仮説演繹法であれば、その言い方は一般的ではないかもしれないが、理解可能である。
まとめ
私の見解は以上のとおりであり、堀田さんの「演繹」の用語の使い方があまり一般的なものでないことから、堀田さんは誠心誠意その意図を説明していると思われるものの、それが中平さんには伝わらず、中平さんが
堀田先生の反論には，「多準位系の数学的構造を実際に演繹的に導いている」ような資料が公開されていない
と考えることは致し方ないだろうと私には感じられる。
加えて、書籍が公理主義的に記載されていれば2.の意味の演繹がどこからどこまでなのかがわかりやすく、誤解も生じにくいと思われるが、書籍は公理主義のデメリットを避けるために、私の理解したところでは、多くの教科書では公理として明示する内容を文の中に溶けこまして理性的な推論（自然な拡張）により導かれるように記載している。そのことが、初学者には適しているとしても、公理論に慣れ親しんだ者には理解が難しいものにしている可能性があるように感じられる。