単位離散化関数
※これは全て私の考えた物です。検索しても出てこないので、注意してください。
単位離散化関数とは
離散化関数$${d_n(x)}$$（英語で「離散」がDiscreteなので）と、もう一つ関数$${f(x)}$$を考えます。
この時、$${d_n(x)*f(x)}$$が間隔$${n}$$で関数$${f(x)}$$の値になり、それ以外は0になる関数が$${d_n(x)}$$です。（間隔$${n}$$で離散化される）
関数の性質
間隔$${n}$$で離散化されるので、このような関数の極限のような見た目になると考えられます。
また、周期性も持っているので$${d_n(x)=d_n(x+n)}$$という条件もあります。
関数を作るために
ある意味周期関数なので（周期$${n}$$が無限大の時以外）使える関数として$${\cos(x)}$$や$${\mod(x,n)}$$などを使って作ることができそうです。
周期nにするために
今回は$${\cos(x)}$$を使います。理由は$${\cos(x)}$$のほうが作りやすいからです。
早速cosを使って作ってみました。間隔$${o}$$を無限大に近づけると、離散化して想像通りの関数になります。
しかし、これは周期$${n}$$ではないのでさらに改良します。
$${\cos(x)}$$は$${\pi x}$$だと周期1になるので、この性質を使います。
また、$${\pi x}$$を周期nで割って周期nにします。
完成したものはこちらになります。
きちんと「単位」化されていますね。
この関数を使って
この関数$${d_n(x)}$$に$${\sin(ax)}$$をかけると、周期nの部分だけ抽出されます。そして、$${a}$$の部分である周波数を変えると、
抽出されていますね。周波数が変わると、間隔が早くなったり遅くなったりして見えます。
これを使って「高速で回転する物体は逆回りのように見える」ということを説明できそうです。
まとめ
単位離散化関数を$${\cos(x)}$$を使って作ることができた。
今回は$${\cos(x)}$$を使ったので、次回作るときは$${\mod(x,n)}$$を使いたい。
周波数を変えると面白いことが起こった。