Piece CHECK(2024-73) 放物線と2接線で囲まれた面積
いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。KATSUYAです。
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こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)
1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち
原則(Principle Piece)
を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが
「なぜそのような解答になるのか」が分かる
ことを、とにかく意識した参考書になります。
単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！
今回の問題
YouTube動画をUPしました。早稲田大学(商学部)から、微積分の問題です。
思考時間は約5分、目標解答時間はそこから約10分です。
解説・原則など
放物線と2接線で囲まれた部分の面積が与えられたとき、どんな点から2接線を引いているかを求める問題。以下のような問題なら4STEPなどの傍用問題集でも見たことあると思います。
$${y=x^2-1}$$ 上の点から曲線$${C:y=x^2}$$に2本の接線を引くとき、この2本の接線と$${C}$$で囲まれた部分の面積は一定であることを示せ。
本問はこれの逆バージョンです。面積が与えられていてそこから点Pの軌跡を求めよということです。聞かれ方は逆ですが、やることは上の問題と一緒です。
まずは放物線外の点から引いているので、まず接点をおきます。
曲線外から引いた接線はまず自分で接点をおく
その接線が$${(s,t)}$$を通るとして方程式を作ります。出来た方程式は解がキタナイです。汚い時は交点を主役$${\alpha ，\beta }$$にします。
交点が汚いなら$${\bm{\alpha ,\beta }}$$とおいて面積公式などを利用し、差がでたら戻す
物線と2接線で囲まれた部分はうまく計算すると簡単に出来ます。
放物線と接線絡み [1] 放物線－接線$${\bm{=a(x-接点)^2}}$$となる
[2] それを積分して$${\bm{\displaystyle \frac{(x-●)^3}{3}}}$$に
結果は有名な12分の公式
$${\displaystyle \frac{(\beta -\alpha )^3}{12}}$$
です。本問は答えだけでしたので、覚えている人は一気に進めます。これが$${\displaystyle \frac{144}{125}}$$ なのでここから$${\beta -\alpha }$$が分かります。
あとは$${s,t}$$に戻します。$${\beta -\alpha }$$は単なる解の差ですので、解の公式で求めて引くのが手っ取り早いでしょう。
１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。
関連する拙著『Principle Piece』シリーズ
Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。
大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。
解答
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