Piece CHECK(2024-69) 続・3次関数のグラフの法線

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。KATSUYAです。

【24年10月最新巻】理系数学必須の積分練習帳『∫calc.』販売開始！！

こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)

1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち

原則(Principle Piece)

を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが

「なぜそのような解答になるのか」が分かる

ことを、とにかく意識した参考書になります。

単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！

今回の問題

YouTube動画をUPしました。大阪公立大学(文系)から、引き続き3次関数のグラフの法線に関する問題です。

思考時間は約10分弱、目標解答時間はそこから約15分です。

解説・原則など

前回と同じく、3次関数のグラフの法線が元の曲線と共有点を何個持つかに関数問題です。前回の記事も参照してください。

（１）（２）は方程式を求めるだけです。（２）の法線は、$${x}$$軸に垂直な直線になる場合は$${y=\cdots }$$の形に出来ません。なのでその形で書くなら場合分けして答えます。
それを避けたい場合は、$${ax+by+c=0}$$の形に書けばOK。です。分母$${f'(a)}$$を払えばこの形になります。

問題は(3)です。こちらも前回紹介した問題とやることは同じです。法線と$${y=f(x)}$$を連立しますが、$${x=a}$$で共有点を持つので、$${\bm{x-a}}$$を因数に持つことを利用すると因数分解できます。

放物線と法線との交点は片方の解を利用する

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～積分法～』p.58参照

今回は1点だけを共有する条件なので、2次式＝０の方が$${x=a}$$以外の実数解をもたない条件となり、判別式に帰着されます。

判別式は計算が比較的繁雑で、かつこれがうまく因数分解できることに気づけるかどうかがカギになります。サイアク解の公式でもOKですが、どちらにしろ計算はキツイ。因数分解のコツについては以下の動画を参照してください。

因数分解できればほぼ勝ち確でしょう。ただ、文系数学としては厳しめの出題でしたね。

最後は、グラフ描画ソフトを用いて、法線が元のグラフと交わる様子を、グラフや接点の座標を変えながらアニメーションで紹介しています。「図形的に明らか」などとするのがどれだけ危険かが分かると思います。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。

大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。

principle powered by BASE

解答

※ここより先には内容はございません。本記事に価値を感じていただけた方は、ポチっとしていただけると大変うれしいです。(もちろん、任意です)