Piece CHECK(2024-60) 定積分と不等式

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こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)

1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち

原則(Principle Piece)

を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが

「なぜそのような解答になるのか」が分かる

ことを、とにかく意識した参考書になります。

単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！

今回の問題

YouTube動画をUPしました。横浜国立大学(後期)から、定積分と不等式に関する問題です。

思考時間は約10分、目標解答時間はそこから約15分です。

解説・原則など

一見簡単に解けそうな不等式に見え、を証明してそれを利用して(2)を示す流れも見えると思います。が、おそらく(1)の方が難しいと感じた人の方が多いと思います。
中辺≦右辺はいいとして、問題は左辺≦中辺。原則は差を取って微分です。

ただ、そのまま差をとって微分していくとかなり苦労するか、詰まってしまった人もいるでしょう。

不等式の証明は差を取って微分する

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～微分法～』p.48

今回は分母が$${\sqrt{1+x^2}}$$だけなので、分母を払ってしまって証明をすることを思いつけば勝ちです。

さらに根号も解消してから差をとると、数Ⅱの微分の知識で不等式の証明が出来ます。

(2)は定積分と不等式。(2)の方が数IIIの知識が必要ですが、(1)を認めればそんなに難しくありません。(1)の中辺と(2)の中辺の被積分関数を見比べれば、両辺に$${\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}$$をかければよいことは見えるでしょう。

今回は簡単に左辺、右辺も被積分関数が分かります。分からなかったときのために、被積分関数を判断するための原則もおさらいしておきましょう。

定積分と不等式で両端の「積分可能」な関数の判断材料　[1] 積分区間、積分結果の式　[2] 中央の関数との大小関係がすぐにわかる

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅲ～積分法(数式編)～』p.68

あとは計算をカリカリやるだけ。右辺はいいでしょう。$${x=\sin \theta }$$とおけばOK。左辺は$${\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}，\frac{x/3}{\sqrt{1-x^2}}}$$に分けます。後者は$${f(x)^nf'(x)}$$型なので、置換積分で簡単に計算できます。(拙著では第２置換積分と呼んでいるものです)

第２置換積分の目安となる形の関数を見慣れておこう

式の詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅲ～積分法(数式編)～』p.48

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。

大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。

principle powered by BASE

解答

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