PieceCHECK(2024-9) 方程式の有理数解など

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【お知らせ】数学の問題集『Principle Piece』はほぼ全分野販売中です！！

1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。

単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！

今回の問題

YouTube動画をUPしました。2019年の一橋大(後期)からで、有理数、無理数関連の証明問題です。

思考時間は15分、目標解答時間はそこから15分です。

解説・原則など

The・一橋の問題って感じ。シンプルで難しめで、でも別に奇抜な手法は使わない良問です。

(1)はハイレベルではありますが典型問題で、因数定理の約数候補の原則を用いることが出来る理由を示す問題ですね。こちらの原則に従います。

有理数解の問題は$${\bm{\displaystyle \frac{q}{p}}}$$の設定　互いに素を忘れず

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学A～整数～』p.89

解法の通り、分母を払ったのちに端っこを1つだけ残して残りを全部移項することで証明できます。初見だと厳しいので、1度は経験しておきたいですね。

(2)は、有理数と仮定して(1)と結びつけ、矛盾を導くんだろうということはすぐに分かると思いますが、そこからがなかなか難しかったかもですね。

$${\sqrt{　}+\sqrt{　}}$$を見たら、符号を変えたものを考えると、和と積が比較的簡単になります。具体的な数値計算ではよく見かけるものですね。さらに解と係数の関係とも結びつくので、2次方程式が作れます。

しかし、まだ$${\sqrt{　}}$$が残っています。この項だけ残してもう一度2乗しましょう。4次方程式になりますが、偶数次ばかりですので、置き換えにより(1)の条件に合う2次方程式が作れました。

あとは、(1)から有理数なら1しかないと議論が進み、ほぼ明らかに1より大きいことから矛盾が生じるわけですね。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。

大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。

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解答

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