Piece CHECK(2024-94) 対数不等式の表す領域

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こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)

1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち

原則(Principle Piece)

を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが

「なぜそのような解答になるのか」が分かる

ことを、とにかく意識した参考書になります。

単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！

今回の問題

YouTube動画をUPしました。今回は京都大学から、対数不等式の表す領域の問題です。

思考時間は約10分、目標解答時間はそこから約15分です。

解説・原則など

問題文はシンプルで小問に刻まれてもいない。京大らしい印象を受ける問題です。

対数の式を見ると、底がバラバラです。真っ先に底の統一をします。

対数式は底の統一が最優先

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～指数関数・対数関数～』p.24

式を見ると$${x,y}$$のいずれかに統一したくなりますが、底に文字が入っていて不等式だと、場合分けが増えます。

底に文字 → 底と１の大小で場合分け

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～指数関数・対数関数～』p.46

そこで、今回はその他の候補として、真数にある２を底にとります。ここが第１関門。$${x,y}$$を底にとってももちろんできますが、場合分けの観点でいうとまあまあメンドウ。

底を2にして書き換えた式の整理が第2関門。

置き換えて分母$${X,Y}$$で通分すると、実は分子キレイに因数分解出来ます。これに気づかないとほぼムリ。。。

あとは分母を払うときの注意点。$${XY}$$をかけてはいけません。不等号の向きが変わるかもしれませんね。でも、2乗をかければ絶対に正ですから、その心配は不要です。

こういう対数不等式の問題でよく出てくる不等式です。

分母に文字のある不等式 →　分母の2乗をかける

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～指数関数・対数関数～』p.51

整理した式は4因数からなる不等式です。このように因数分解された形の不等式の領域は、1つおきに塗り絵すると簡単に領域が出せます。

因数分解型の不等式の領域 → 1つおきに塗り絵する

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学Ⅱ～指数関数・対数関数～』p.62

こんなシンプル問題で、たくさんの原則が学べましたね。間違いなく良問です。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。

大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。

principle powered by BASE

解答

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