Piece CHECK(2024-71) 続・分数式が整数になる条件

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こちらは、『Principle Piece』シリーズ一覧のページです(全分野そろってます)

1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法、すなわち

原則(Principle Piece)

を出来る限り分かりやすく、そして詳しく言葉に落とし込んだ数学の問題集です。解答の詳しさはもちろんですが

「なぜそのような解答になるのか」が分かる

ことを、とにかく意識した参考書になります。

単元自体を未習の方も、本シリーズで最初から体系的に高校数学を学べます。そして、学習後の到達レベルは「難関大入試合格最低点レベル」です！

今回の問題

YouTube動画をUPしました。北海道大学(文系)から、分数式が整数になる条件を求める問題です。

思考時間は約10分、目標解答時間はそこから約10～15分です。

解説・原則など

こちらも参照してください。第4問です。

北海道大学 文系 | 2016年度大学入試数学

前回も分数式が整数になる条件でした。

今回は、分母の方が次数が高いので、前回のようにはいきません。このようなときにどうするか。

分母の方が次数が大きい場合は、こちらの原則です。

分母の次数＞分子の次数　の分数式の整数条件→絶対値$${\bm{\geqq 1}}$$でかなり候補が絞れる

詳細は拙著シリーズ『Principle Piece 数学A～整数～』p.93

$${x}$$(の絶対値)が大きくなると、分数式の値(絶対値)は小さくなっていくという感覚で、そんなに$${x}$$は大きくないハズと分かれば候補を絞って全調査です。

今回は(1)(2)ともに正の値しかとりませんので、絶対値も考える必要ナシ。

(1)は$${\frac{3x}{x^2+2}\geqq 1}$$を解いて$${x=1,2}$$が必要と分かります。これは両方OK。

(2)はいい問題だと思います。まず$${y=1}$$なら(1)と同じ条件が必要。$${y\geqq 2}$$の場合は、$${\frac{1}{y}}$$の最大値が$${\frac{1}{2}}$$なので、(1)よりももう少し小さくてもOKで、

$${\frac{3x}{x^2+2}\geqq \bm{\frac{1}{2}}}$$

でが必要となります。これより小さいと、絶対自然数になりませんね。

これで候補を絞ると$${x=1,2,3,4,5}$$ となります。あとは$${y\geqq 2}$$となる自然数を代入して、式が自然数になるものを探すだけです。

「評価して候補を絞って調査する」がめちゃくちゃ威力を発揮する問題でした。文系の人にはちょっと厳しかったかもですが、良問ですね。

１．解けた人・・・今後の勉強はじっくり演習をしましょう。

２．解けなくて原則を知っていた人・・・拙著『Principle Piece』シリーズで該当するページを熟読し(詳細が書いてあります)、入試演習用の問題集で思考時間を長くする演習をしましょう。

３．解けなくて原則も知らなかった人・・・原則集めからやる必要があります。拙著『Principle Piece』シリーズのような原則習得タイプの問題集で演習しましょう。

関連する拙著『Principle Piece』シリーズ

Principle Piece シリーズは、1つの問題から、多くの問題が出来るようになるための考え方・手法(原則:Principle)によって、「なぜその解法が思い浮かぶのか」「なぜ解答の1行目がそれになるのか」を意識して書き上げた参考書です。

大手ネットショップBASEでも、デジタルコンテンツとして販売しています。

Principle Piece 数学A Chapter3～整数～ | principle powered by BASE

解答

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