PieceCHECK(2023-8) 有理数と無理数

いつもご覧いただきまして、ありがとうございます。KATSUYAです。

YouTube動画をUPしました。今回は神戸大学からです。有理数と無理数を題材にした問題です。
思考時間は10分、解答時間はそこから約10分弱とします。

こちらの記事では、答えを静止画像にて掲載しておきます。静止画像の方が記載内容は少し詳しめです。
よろしければ動画と両方ご覧になってみてください＾＾

解答

解説

正の無理数$${\bm{a}}$$に対し、$${\bm{a^3+3a^2-14x+6}}$$と$${\bm{a^2-2a}}$$がともに有理数になるようなものを求める問題です。

いきなり聞かれたら結構難しいと思いますが、誘導があるおかげで難易度が下がっています。それでも、試験としては非常に適切な難易度に調整されていますね。

(1)で割り算をして商と余りを求めます。$${A=BQ+R}$$の形に表しましょう。
(2)は(1)の式に$${a}$$を代入することになります。すると有理数$${X,Y}$$が出てきます。この式を無理数$${\bm{a}}$$について整理できるかどうかがすべでです。これに気づけば勝ちでしょう。

$${a+b\sqrt{2}=0}$$のときに有理数$${a=b=0}$$しかないことを示すときと全く同じ要領で証明できますので、証明しながら$${X,Y}$$を確定しましょう。
それが確定すれば$${a}$$も出せますね。

１．解けた人は、今後の勉強はじっくり演習をしましょう。
２．解けなくて、原則を知っていた人は、思考時間を長くする演習をしましょう。
３．解けなくて、原則も知らなかった人は、原則集めからやる必要があります。

Piece CHECKシリーズでは、出来あがった答案からは見えない部分を解説していくことで、「なぜそうやって解くのか」「いったいどこからそんな答案が生まれるのか」に答えていきます。

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