【幾何代数1】すごいぞ幾何代数
幾何代数とは何か
適用範囲と経緯
幾何代数(geometric algebra)は、英国の数学者 W.K.Clifford(1845-1879)が1878年に発表した代数の一種である。
以下のように紹介される。
「20世紀末に米国の物理学者ヘステネスがとりあげるまで,一部の数学者を除いてほとんど忘れられていた(金谷 2015)」ため、上記のような応用の広さ、有用性にも関わらず、物理数学系の初学者には正式に教えられていない。
特徴
幾何代数は、その先駆的成果であるハミルトン代数(四元数 quaternion)とグラスマン代数(外積代数 exterior algebra)を統合・包含する。複素数、分解型複素数(双曲複素数)、四元数等は、幾何代数の一部として埋め込まれる。座標に依拠せず記述できる。
複素数には実軸と虚軸による複素平面(ガウス平面)の定義が必要であるが、幾何代数で複素数に相当するものは特別な座標系を必要としない。また、大学のベクトル解析で学ぶクロス積(これも外積と呼ばれることもある)が三次元に限定されるのに対し、幾何代数の外積(ウェッジ積 楔積 wedge product)にはそのような限定はない。
高校や大学初年度で学ぶベクトル解析と異なるのは、「幾何積」と、「多重ベクトル」の存在である。そこから単純な数学操作により回転等の幾何学的操作が導かれる。多重ベクトルは回転操作を同一平面内で完結させるため、感覚と符合する。物理的な概念が各等級のベクトルに割り当てられ、よりシンプルかつ明確な物理概念の把握を可能にしている。
名称について
Geometric Algebraの邦訳については揺れがあり、「幾何学的代数」「幾何代数」の二つがある。
この分野の国内先駆者である金谷健一氏(岡山大学名誉教授)は、前者「幾何学的代数」という名称を採用している。また、「幾何代数」という名称は、一般的な高校数学の分野等を指す「代数・幾何」と混同される恐れがある。
どちらを採用するか悩んだが、本稿では、将来的にGeometric Algebraが普及した時に短く簡明な名称が望まれると考え、「幾何代数」で統一する。
講座内容
当面の間、執筆内容や分量に応じて随時改訂する。
Ⅰ 幾何代数の基礎
概要
多項式の展開と交換法則
発想:幾何積=内積(ドット積)+外積(ウェッジ積)
幾何積の三角関数表示
発想:面ベクトル(多重ベクトル)
2次元での基底
基底の性質
Ⅱ 2次元での演算と幾何学操作1
ベクトルの成分(基底)表示
単位ベクトルと逆ベクトル
分配・結合・交換法則の確認
2次元基底間の幾何学積の相互関係(表)
面ベクトル同士の加法・減法
Ⅲ 2次元での演算と幾何学操作2
正射影と反射影の作り方
内積と外積の関係
鏡像変換と作用子
回転と回転子
回転子の指数表現
2元1次連立方程式の再解釈と解法
Ⅳ 3次元での演算と幾何学的操作
3次元での基底
3次元基底間の幾何積の相互関係(表)
次元と基底数の関係
体ベクトル同士の加法・減法
正射影・反射影・鏡像変換・回転
3元1次連立方程式の再解釈と解法
Ⅴ 既存の分野との関係
幾何代数と複素数・四元数の関係
外積とクロス積の関係
双対ベクトル
行列の幾何代数との関係
ベクトル解析の幾何代数による再構成
マクスウェル方程式の幾何代数による表現
講座のまとめと今後の展望
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