高校生に伝えたいフーリエ展開
みなさんこんにちは。ずんだもん博士なのだ。みなさんはフーリエ展開をご存じでしょうか？僕はよくノコギリを見た時に思い出します。
さて昨日はテイラー展開というものをご紹介しましたね。あれはどんな関数でも多項式で近似してやるぜ！っていう発想から生まれたものですが、似たようなことを三角関数でも出来ますというのがフーリエ展開です。面白そうでしょ？
これは単に面白いだけじゃなくて、全ての分野で重要です。例えば単に関数の挙動を調べるときに使うし、微分方程式を解くのにも使います。数論でもフーリエ展開が可能な保形形式というものがフェルマー予想の解決に寄与したりしますな。物理では振動について調べるときに使ったり、量子論で波動関数をフーリエ展開するといったことは、ごく当たり前に行われています。
そういう世界でなくとも、例えば作曲家になりたいのであれば、音声をフーリエ変換してどの音程が一番強く出るか等を知っておくと、つよつよトラックメーカーになれるかもしれません。そうSota Fujimoriのように！
発想
まず$${f(x)}$$を関数とします。そしてテイラー展開の時と同じ展開ですが、次のような和で書けることを「期待」します：
$$
\begin{align*}
f(x)=a_0 + \sum_{n=1}^\infty c_n \cos(2\pi n x) + \sum_{n=1}^\infty s_n \sin(2\pi n x)
\end{align*}
$$
今回は係数$${a_0, c_n, s_n}$$を求めるのには骨が折れるかもしれません。単に$${x}$$に何か良い値を入れても幸せにはなれなさそうです。さてどうしたものでしょう？
三角関数の直交性
いきなりですが次の積分を求めてみましょう
$$
\begin{align*}
\int_0^1\cos(2\pi n x)\cos(2\pi m x)dx\\
\int_0^1\cos(2\pi n x)\sin(2\pi m x)dx\\
\int_0^1\sin(2\pi n x)\sin(2\pi m x)dx
\end{align*}
$$
できましたかね？多分高校レベルで全然実行できるレベルの計算です。
ヒントは積和公式だよー。
そろそろ答え合わせしてもよさそ～？
おっけーじゃあ答え合わせするねー
$$
\begin{align*}
\int_0^1\cos(2\pi n x)\cos(2\pi m x)dx &= \left\{\begin{array}{cl} 1/2 & (m=n) \\ 0 & (m\neq n)\end{array}\right.\\
\int_0^1\cos(2\pi n x)\sin(2\pi m x)dx &= 0\\
\int_0^1\sin(2\pi n x)\sin(2\pi m x)dx &= \left\{\begin{array}{cl} 1/2 & (m=n) \\ 0 & (m\neq n)\end{array}\right.
\end{align*}
$$
もとい。これでやりたい事は分かりましたかね。
$$
\begin{align*}
f(x)=a_0 + \sum_{n=1}^\infty c_n \cos(2\pi n x) + \sum_{n=1}^\infty s_n \sin(2\pi n x)
\end{align*}
$$
この両辺に$${\cos(2\pi n x)}$$や$${\sin(2\pi n x)}$$なんかを掛けて区間$${[0,1]}$$で積分すると係数が求められます！
具体的に言えば
$$
\begin{align*}
a_0&=\int_0^1 f(x)dx\\
c_n&=2\int_0^1f(x)\cos(2\pi n x)dx\\
s_n&=2\int_0^1f(x)\sin(2\pi n x)dx
\end{align*}
$$
となる…ハズです！
ご利用上の注意点
お察しの通りかもしれませんが、ご利用は計画的に。
定義域について
まずテイラー展開と違って確実に違うことは、この展開が通用する$${x}$$の区間が限られているということです。今回で言うと言わずもがな区間$$[0,1]$$でしか成り立ちません。
ところがフーリエ展開したい関数が周期関数だった場合、つまり$$f(x+1)=f(x)$$がすべての$${x}$$に対して成り立つような場合、逆に実数全体で$${f(x)}$$がフーリエ展開できる可能性が高まります。極端な話、$${f(x)=\cos(x)}$$はフーリエ展開可能で、この表記自体がフーリエ展開後です。
一方で、次のように考えればフーリエ展開できる区間を広げることが出来ます。まず$${T}$$を正の実数としまして、
$$
\begin{align*}
f(x)=a_0 + \sum_{n=1}^\infty c_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + \sum_{n=1}^\infty s_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)
\end{align*}
$$
と展開できると期待すれば、さっきと同様$${\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)}$$や$${\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)}$$を掛けて0から$${T}$$までの積分を行うことによって
$$
\begin{align*}
a_0&=\int_0^T f(x)dx\\
c_n&=\frac2T\int_0^Tf(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)dx\\
s_n&=\frac2T\int_0^Tf(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)dx
\end{align*}
$$
と計算できるので、好きなだけ適用区間を広げたり狭めたりできます。
一方で係数が上記の積分で与えられる以上、$${f(x)\cos(2\pi x/T)}$$や$${f(x)\sin(2\pi x/T)}$$が区間$${[0,T]}$$上で積分可能でなければいけません。この積分可能条件は奥が深くて、カントールが集合論を作るきっかけになっていたり、リーマン積分じゃ不十分でルベーグ積分というものを考えるきっかけになって、「面積」「体積」といった概念を根本から見直すことにもなりました。
収束について
テイラー展開では詳しく述べられた収束の議論ですが、フーリエ展開ではちょっと無理です。しっかり述べるならそれこそルベーグ積分や超関数の知識が必要ですが、これは解析学でいうと、代数学で言うところのガロア理論ぐらいの重みのある理論でして、プロパーじゃないとちょっとサッとお出しできないです。際どい例があるのは事実です。でも高校生のみなさんは安心してください。そんなヤベー関数はたぶん絶対出てきません！(そもそもフーリエ展開しないと解けない問題なんて出せないだろ、っていう)
応用例
$${f(x)=x}$$
$${f(x)=x}$$を区間$$[0,1]$$でフーリエ展開してみましょう。まず
$$
\begin{align*}
a_0&=\int_0^1 f(x)dx\\
&= \int_0^1 xdx\\
&= \frac12
\end{align*}
$$
ですな。続きまして
$$
\begin{align*}
c_n&=2\int_0^1 f(x)\cos(2\pi n x)dx\\
&= 2\int_0^1 x\cos(2\pi n x)dx\\
&= \frac{2}{2\pi n}\left[x\sin(2\pi n x)\right]_{x=0}^{x=1}-\frac{2}{2\pi n}\int_0^1\sin(2\pi n x)dx\\
&= 0
\end{align*}
$$
$$
\begin{align*}
s_n&=2\int_0^1 f(x)\sin(2\pi n x)dx\\
&= 2\int_0^1 x\sin(2\pi n x)dx\\
&= -\frac{2}{2\pi n}\left[x\cos(2\pi n x)\right]_{x=0}^{x=1}+\frac{2}{2\pi n}\int_0^1\cos(2\pi n x)dx\\
&= -\frac1{\pi n}
\end{align*}
$$
ということで下記の通りフーリエ展開が求まりました：
$$
\begin{align*}
f(x)=\frac12-\frac1\pi\sum_{n=1}^\infty \frac1n\sin(2\pi nx)
\end{align*}
$$
まとめ
まあこんな感じです(投げやり)。でも発想自体は単純でしたね。関数$${f(x)}$$が
$$
\begin{align*}
f(x)=a_0 + \sum_{n=1}^\infty c_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + \sum_{n=1}^\infty s_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)
\end{align*}
$$
と展開できると考えた場合、その係数は積分
$$
\begin{align*}
a_0&=\int_0^T f(x)dx\\
c_n&=\frac2T\int_0^Tf(x)\cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)dx\\
s_n&=\frac2T\int_0^Tf(x)\sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right)dx
\end{align*}
$$
によって求められますよねーってだけの話です。
みんなも$${x^2}$$とか$${e^x}$$とかをフーリエ展開してみよう！ちなみに矩形波も
$$
\begin{align*}
f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0 & (0 \leq x \leq 1/2) \\ 1 & (1/2 < x \leq 1) & \end{array}\right.
\end{align*}
$$
のような単純な関数としてフーリエ展開できます。おもしろいから是非グラフ描画ソフト(オススメは手軽なFunctionView)片手にやってみてね！