数の拡張「自然数→実数」

自然数

ものの多さに対して付けられた名前$${1,2,3,…}$$などが「数」である。このような数は、数の中でも最も基本的な数であり、特に自然数と呼ばれるものである。

整数

足し算・引き算

ある集まりに別の集まりを加えたり一部を取り除いたりすると、数はそれらの操作に応じて変化する。操作前後の数の対応関係は操作に応じて決まっているため、操作前の数と操作の内容が決まれば操作後の数は一意に決まる。このことを利用して、既知の数と操作から目的の数を求めることを計算と呼ぶ。加えた後の数を求める計算を足し算、取り除いた後の数を求める計算を引き算という。

例えば、$${1}$$本の鉛筆に$${2}$$本の鉛筆を加えたときの合計の鉛筆の本数を求める足し算は$${1+2}$$となる。$${4}$$個の消しゴムから$${3}$$個の消しゴムを取り除いたときの残りの消しゴムの個数を求める計算は$${4-3}$$である。

正負の数

対象の数そのものよりも基準の数との関係が知りたい場合もある。対象が基準よりも多ければ余るし、少なければ不足する。余りの数や不足する数を表そうとしたとき、自然数で多さは表せるが、余りなのか不足なのかは表せない。

そこで、「余る・不足する」と「加える・減らす」がよく似ていることを利用し、余りと不足をそれぞれ足し算記号と引き算記号を借りて表現した数が正の数と負の数である。

例えば、友達よりも$${1}$$本多くペンを持っていることは、正の数を用いて$${+1}$$本と表せて、$${2}$$本少ないことは、負の数を用いて$${-2}$$本と表せる。数の正負を表す記号$${+,-}$$を符号という。

自然数に符号を付けて表される数$${+1,-1,+2,-2,+3,-3,\cdots}$$と$${0}$$をまとめて整数と呼ぶ。

整数を小さい順に並べると、$${\cdots,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,\cdots}$$となる。

有理数

かけ算

同数のものを含むまとまりがいくつかあるとき、まとまりの数を数えることができる。すべてを合わせたものの数は、まとまりに含まれるものの数とまとまりの数によって一意に決まるから、合計の数を求める計算が定義できて、これをかけ算という。

例えば、$${50}$$枚をまとまりとする折り紙パックが$${2}$$つあるとき、すべての折り紙の枚数を求める計算は$${50×2}$$である。合計の枚数は足し算でも計算できて、$${50+50}$$である。

一般に、$${a}$$個のもののまとまりが$${b}$$個あるとき、すべてのものの数を求めるかけ算は、足し算で表すことができて、

$$
a×b=\underbrace{a+a+\cdots+a}_{b個}
$$

となる。

割り算

集まりをいくつかのまとまりに分割するとき、一つのまとまりに含まれるものの数を求める計算を割り算という。実際は必ずしもきれいに分けられるとは限らないため、きれいに分けられるものだけ分けて、分けられないものは余りとして残したり無視したりすることがある。

例えば、$${13}$$個のチョコを$${4}$$つのまとまりに分けるとき、$${3}$$個ずつに分けられて、$${1}$$個余る。この計算式は$${13÷4=3⋯1}$$などと書ける。

分数

ものをナイフなどで切り分けられるとき、余ったものを切り分けて分配することができるから、余りを出さずにすべてのものを分けることができる。切り分けたものは、もとのものよりも小さく、これをもとのものと同じように$${1}$$個と数えるのは適切ではない。切り分ける数に応じて大きさが変わるから、ものを$${n}$$個に切り分けたうちの$${1}$$個を$${\dfrac1n}$$と表す。このような数を分数という。

例えば、$${13}$$枚のクッキーを$${4}$$人で分けるとき、$${3}$$枚ずつ分けられて、$${1}$$枚余るが、余った$${1}$$枚を$${4}$$等分すると$${4}$$個のかけらに分けられ、かけらは$${1}$$人に$${1}$$個ずつ分配できる。結局、$${1}$$人分はクッキー$${3}$$枚と$${4}$$等分のかけら$${1}$$個になる。これを計算式では、$${14÷4=3\dfrac14}$$と書く。

分数の相等

$${2}$$枚の余りをそれぞれ$${4}$$等分して、$${8}$$個のかけらに分けると、$${1}$$人分のかけらは$${2}$$個になる。かけら$${2}$$個はかけ算を用いて$${\dfrac14×2}$$と表せるから、これは$${\dfrac24=\dfrac14×2}$$ということを意味する。

ところで、$${2}$$枚を$${4}$$つに分けるのに、一つ一つを$${4}$$等分する必要はなく、それぞれ$${2}$$等分すれば十分である。$${2}$$枚をそれぞれ$${2}$$等分すると、かけらは$${4}$$個できるから、これを$${4}$$つに分けると$${1}$$個ずつとなり、$${1}$$人分は$${2}$$等分のかけら$${1}$$個、つまり$${\dfrac12}$$となる。

$${1}$$枚のクッキーを$${4}$$等分する場合も$${2}$$等分する場合も、もとのクッキーの量は同じだから、$${4}$$人で分けたときの$${1}$$人分の量は変わらないはずである。したがって、$${\dfrac24=\dfrac12}$$が成り立つ。

同じ量を分ける方法が複数ある場合、$${1}$$つ分の量を表す分数も複数の表し方があるが、どの表し方の分数も同じ量を表す。複数の表し方のうち、より小さい自然数で表される方の分数で表し直すことを約分という。限界まで約分し終えた分数を既約分数という。$${\dfrac24}$$を約分すると$${\dfrac12}$$になり、$${\dfrac12}$$はもうこれ以上約分できないので既約分数である。

分数の大小関係

長さ、広さ、大きさなどの量を数で表して比較できるのは、単位が同じ場合である。すなわち、単位が同じ場合は、数が多い方が大きいといえるが、異なる場合、数が多い方が大きいとは限らない。

例えば、教科書$${2}$$冊を平らに並べた大きさと消しゴム$${5}$$個を並べた大きさでは、消しゴムの方が数が多いにも関わらず教科書$${2}$$冊の方が広く場所をとる。しかし、同じ消しゴムの比較であれば、数多く並べた方が大きい。

分割する数によって部分一つあたりの大きさが異なることに注意すると、分母が同じであれば分子が大きい方が分数も大きいことがわかるが、分母が異なれば分子の比較で分数の大小関係を判断することはできない。分数の比較をするには分母を揃えなければならない。

分母が揃うように分数の表し方を変えることを通分という。

例えば、$${\dfrac34}$$を$${\dfrac58}$$と比較するには、$${\dfrac34=\dfrac68}$$と通分して分母を$${8}$$に揃えればよい。分子を比較すると$${\dfrac68}$$の方が大きい。すなわち$${\dfrac34}$$は$${\dfrac58}$$よりも大きい。

分数の足し算・引き算

$${2}$$等分したものと$${4}$$等分したものでは大きさが異なるため、単純に個数を足し合わせることは適切ではない。しかし、分割の数が同じであれば大きさも同じになり、どの部分も対等な$${1}$$として区別なく数え合わせることができる。よって、分母が同じ場合のみ、個数の足し算ができて、

$$
\dfrac{a}c+\dfrac{b}c=\dfrac{a+b}c
$$

となる。引き算も同様である。

分母が異なる足し算や引き算をするときは、先に通分しておく。

分数のかけ算・割り算

まとまりの数が分数である場合を考える。例えば、まとまりが$${\dfrac34}$$個あるとは、まとまりを$${4}$$等分したものが$${3}$$個あることを意味する。

$${\dfrac78}$$個のケーキの$${\dfrac35}$$は、ケーキを$${8}$$等分したうちの$${7}$$個をさらに$${5}$$等分したそれぞれから$${3}$$つずつ取って皿にのせたものである。結局これはケーキを$${8×5}$$等分したうちの$${7×3}$$個と同じ量である。

$$
\dfrac57×\dfrac34=\dfrac{5×3}{7×4}
$$

割り算についても同様にまとまりの数を分数にして考えればよいが、解釈としてはあまり明解でなく、まとまりの数を分数で表すことを避けた方がいいんじゃないかと思いたくなる。

比

もう少し理解しやすいように、分数の解釈を改めよう。

分数は割り算の結果を表す数として定義される。

割り算の結果の解釈は、「分割後の数量」と「比の値」の二通りあるが、分割後の数量を単位量に対する比の値として解釈し直すことにより、分数の意味の解釈を「比の値」に統一できる。

世の中には分割できないものが多々あるが、数量の比較はほぼ何に対しても可能なので、「分割後の数量」よりも「比の値」の方が汎用性は高い。分数の解釈を「比の値」とすることで、分数はより幅広い意味をもつようになり、より抽象的になる。

ここで、比とは二つの数の関係を表すものであり、その関係は、かけ算および割り算によって特徴付けられる。比較する数を基準の数のかけ算で表したときの「かける数」が比の値である。「かける数」は割り算で求められるから、比の値は分数で表すことができ、

$$
\small(比の値)=\frac{(比較する数)}{(基準の数)}
$$

となる。

例えば、$${8}$$と$${2}$$の比を$${8:2}$$と書き表し、比の値は$${\dfrac82=4}$$である。

単位量を基準として、ほとんどすべてのものの量すなわち大きさを数で表せる。長さ、面積、体積、時間、力、重さ、温度。

そして、多くの場合、これらの数の間には比の関係が見られる。一見、バラバラで規則性のないように見える数が、比によって結ばれているとは何とも面白いことである。

例えば、水の重さと体積の比は、水の量によらず常に一定である。不思議に思えるかもしれないが、事実そうなのである。単位量あたりの重さが一定であることから成り立つ。

実数

べき乗

同じ数のかけ算の繰り返しをまとめて、計算として定義できる。これをべき乗という。ちなみに、繰り返し回数が$${2}$$回の場合、$${2}$$乗または平方、$${3}$$回の場合、$${3}$$乗または立方という。$${n}$$回の場合は$${n}$$乗。

$$
a^n=\underbrace{a×a×\cdots×a}_{n回}
$$

例えば、$${1}$$時間ごとに分裂して個体数が$${2}$$倍になる生物がいたとして、$${3}$$時間後には、個体数は最初と比べて$${2×2×2=2^3}$$倍になっている。

べき乗根

べき乗の逆の数、すなわち、べき乗した後の数から見て、べき乗する前の数をべき乗根という。特に、$${2}$$乗根を平方根という。

$${9}$$の平方根は$${2}$$乗すると$${9}$$になる数であり、$${3}$$および$${-3}$$ である。

一般に、平方根は正と負の二つある。$${a}$$の平方根のうち、正の方を$${\sqrt{a}}$$と書く。

$${9}$$の正の平方根は$${3}$$だから、

$$
\sqrt9=3
$$

有理数

分母が自然数で分子が整数の分数で表される数を有理数という。

分母が$${1}$$の分数は整数に等しいから、有理数は整数を含む。

無理数

平方根は有理数だろうか。つまり、平方根を分数で表すことはできるのか。試しに、$${\sqrt2}$$を分数で表すことを考えてみよう。

分母が$${1}$$の場合、つまり整数の範囲において、$${2}$$乗して$${2}$$になる数はない。よって、$${\sqrt2}$$は整数では表せない。一応、$${2}$$乗が$${2}$$に最も近い整数は$${1}$$である。

分母が$${2}$$のとき、$${(\frac22)^2<2<(\frac32)^2}$$であるから、$${2}$$乗して$${2}$$になる数はない。近い数は$${\frac32}$$で、差は$${(\frac32)^2-2=+\frac14}$$となる。

分母が$${3}$$のとき、$${(\frac43)^2<2<(\frac53)^2}$$より、$${\frac43}$$が最も近く、差は$${(\frac43)-2=-\frac29}$$である。

実を言うと、分母をどれだけ大きくしても、$${2}$$乗してちょうど$${2}$$になる分数は見つけられない。ただし、分母を大きくするほど、$${2}$$乗が$${2}$$に極めて近い数が見つかる。

$${\sqrt2}$$は分数では表せないので、有理数ではない。このように、分数で表せない数を無理数という。分数でちょうどは表せないが、限りなく近い数は表せるから、数として実際にあるものだと認められる。

実数

有理数と無理数をまとめて実数という。

分母を限りなく大きくすると無理数に限りなく近い有理数を作れる。すなわち、無理数$${\alpha}$$に対して、ある整数列$${a_n}$$が存在して、

$$
\displaystyle α=\lim_{n→∞} \frac{a_n}n
$$

ここで、有理数列$${q_n=\frac{a_n}n}$$とおくと、

$$
\displaystyle α=\lim_{n→∞}q_n
$$

無理数は有理数列の極限で表せる。

また、有理数列として定数の数列を考えれば、その極限はもとの有理数に一致するから、どの有理数も、有理数列の極限で表せる。

結局、有理数も無理数も有理数列の極限で表せるから、実数は有理数列の極限で表される数である。

まとめ

自然数　ものの個数
↓増減を考慮
整数　　増減の個数
↓分割を考慮
有理数　分割単位の個数 ※各分割ごとに数える
↓分割が無限に続く場合を考慮
実数　　各分割単位の個数 ※無限分割を含む