pion

数学と科学が好き。語り出すと止まらない。止めどなく、思ったこと、考えたことを書く。追い求めるのは自然な発想。開拓者の精神を携えて生きたい。

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マガジン

  • 実在する数

    数とは、具体的な物から生じた抽象的な概念である。 数そのものを知覚することはできないが、数に対応する具体的な物を知覚することはできる。 数に対応する物が現実に存在するならば、その数は実在すると言っていい。 同時に計算に対応する操作が現実に存在するならば、数に計算を含めた体系が意味のあるものとして実在するとみなせる。 この意味において、自然数が実在する数であることは自然に理解できる。それに分割という操作を考えれば、分数もまた実在すると言えよう。 しかし、無理数は実在するのか? 負数に対応する物は存在するか? これらの疑問に答え、実数が確かに実在する数であることを示す。 そのうえで、虚数が実在するかどうかを議論する。 複素数を実在する数として認めることが最終的な目標である。 「複素数は実在した!」

  • 数の拡張

    具体から抽象へ。数の表現範囲を広げる。

  • 大学数学

    大学数学の勉強用noteです。教科書などを読んでわかったことを記録していきます。独学なので、理解不足や誤解を含む可能性があります。基本的には自分用ですが、一応他人の目も気にして書くつもりです。

  • 中学数学

    中学数学についての記事。なるべく妥当で自然な説明を目指して書いています。複雑で面倒な込み入った説明は避け、厳密さよりも簡潔さを優先している部分があります。また、勢いに任せて書いた点も多くあり、そのうち加筆修正したいと考えています。

  • 徒然日記

    だいたいエッセイ。平凡極まりないただの日常を、ろくな飾りもつけずに物語る。

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随時更新。 BUMP OF CHICKEN歌詞が深い。あと歌声もいい。 RIRIKO歌詞が刺さる。 TOMOO見た目と声のギャップがおもしろい。 美波ノリやすくて聞くとテンション上がる。 花譜独特な歌声。 櫻坂46ビジュアルがいい。かっこいい。

    • 実数~直線上の点の位置

      実在する数実数についての話。 現実に存在する数だから「実数」と呼ばれる。これは、現実には存在しない想像上の数と区別するために、あえてそう呼ぶのである。 ところで、数が現実に存在するとはどういうことか。 数そのものはあくまでも、人間の頭の中にのみ存在する抽象的な概念である。したがって、現実に存在できるのはその具体例ということになる。 そこで、具体例が現実に存在するような数を、実在する数ということにしよう。 $${0}$$以上の実数すべてに対し、具体例として「長さ」を挙

      • 絶対値~線分の長さ

        実数は「符号」と「絶対値」の二つの部分から成る。ここでは絶対値を$${0}$$以上の実数と同じものと見なす。 ひとまず符号は後で考えることにして、$${0}$$以上の実数の現実的な解釈の一つを示す。 0以上の実数の具体例$${0}$$以上の実数に対応する具体的な物として「直線の長さ」がある。 どんな直線の長さでも必ず$${0}$$以上の実数で表すことができ、逆に、すべての$${0}$$以上の実数に対して、対応する長さをもつ直線を実際に引くことができる。これら両方を可能に

        • 数の拡張「実数→複素数」

          実数基本単位や分割単位の個数を用いて、基準値からの増減を表した数が実数である。そのうち、有限の分割で表せるものを有理数、有限の分割で表せず、分割が無限に続くものを無理数と呼ぶ。 単位量、増減(足し算引き算)、基準値が定められるものは、ほぼ何でも実数で表せる。 例えば、時の「単位」として、太陽が一周するのにかかる時間を$${1}$$日、それを$${24}$$分割した単位を$${1}$$時間、$${1}$$時間を$${60}$$分割した単位を$${1}$$分、さらに$${60

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        記事

          数の拡張「自然数→実数」

          自然数ものの多さに対して付けられた名前$${1,2,3,…}$$などが「数」である。このような数は、数の中でも最も基本的な数であり、特に自然数と呼ばれるものである。 整数足し算・引き算 ある集まりに別の集まりを加えたり一部を取り除いたりすると、数はそれらの操作に応じて変化する。操作前後の数の対応関係は操作に応じて決まっているため、操作前の数と操作の内容が決まれば操作後の数は一意に決まる。このことを利用して、既知の数と操作から目的の数を求めることを計算と呼ぶ。加えた後の数を

          数の拡張「自然数→実数」

          数の拡張(5)「分数」

          正負の数は、相反する性質をもつ二種類の量を表すのに用いられる数である。 正負の数の具体例として、差異、変化、相対値などが挙げられる。 ものの個数を表すだけなら、上の三つくらいしか考えられないが、量を表す場合には、もっと多くの例が存在する。 例えば、電気は、互いに打ち消し合う二種類の量をもつから、正負の数で表せて、それぞれを正の電気、負の電気という。 他にも、物体の移動は、互いに打ち消し合う二種類の方向があるから、正負の数で表せて、正の方向の移動、負の方向の移動というの

          数の拡張(5)「分数」

          数の拡張(4)「正負の数」

          はじめに数についてこれまで三本ほど記事を書いてきたが、話を先に進めるために、書く内容を考え、整理していると、どうしてもそれ以前に書いた内容が不十分なように思えて手直ししたくなってくる。 しかし、そうするといくら時間があっても足りないし、いつまで経っても完成しないので、未熟な内容でもとりあえず形を整えて公開している。 完璧でなくてもいい。 まったく間違いのない未完成よりも、間違いがあっても完成させることの方が大事だ。仮にでも完成させられれば、全体像が手に入る。そしてこの全

          数の拡張(4)「正負の数」

          数の拡張(3)「量」

          計算とは、操作前の数を用いて操作後の数を求めることである。操作前後の数の対応関係は、操作の種類によって決まる。 ところで、数を求める主な目的は、どちらが多いか比較して調べることであった。集まりの規模を直接に比較するよりも、数を比較する方が簡単な場合があるからだ。つまり、比較するのに数を利用すると便利なときがある。 しかし現状の定義では、数の表現範囲は具体物の集まりに限定されているから、具体物の集まりを比較するときにしか数を利用できない。 具体物の集まり以外を比較するには

          数の拡張(3)「量」

          数の拡張(2)「計算」

          数とは、集まりに含まれるものの多さに対して付けられた名前である。つまり、ものの多さを表すための言葉である。 この定義だと、数の表現範囲は、ものの集まり、特に、具体物の集まりに限定される。言い換えると、数で表せるものは、具体物の集まりの規模だけである。 今はとりあえずこの定義の範囲で十分である。このまま話を進めよう。 足し算具体物の集まりに操作を加えれば、当然それに応じて数も変化する。 例えば、四個の小石と三個の小石を合わせて新たな集まりを作る。このとき作った集まりに含

          数の拡張(2)「計算」

          数の拡張(1)「数の定義」

          数の拡張について語る。数という概念の基礎から、数の表現範囲が広がり、拡張し、発展していく様子を見ていく。今回書くのはあくまでも数学上の論理や応用に基づくものであり、歴史に基づくものではない。 数とはそもそも「数」とは何か。 数は、抽象的な概念である。 ここで、具体と抽象について簡単に説明しておこう。 具体と抽象 具体とは、実際に見たり聞いたり触ったりすることができるということ、つまり、直接に知覚できるということを意味する。 例えば、りんごなどの食べ物や、犬などの生

          数の拡張(1)「数の定義」

          三平方の定理

          三平方の定理の意味直角はあまりにも有用であるため、古代の人々はうまく直角を作る方法を編み出した。 三辺の長さの比が3:4:5となる三角形が必ず直角三角形になることを発見し、三角形の三辺の比が3:4:5になるようにして直角三角形を作ることで、直角を作り出したのである。 直角三角形ができるような三辺の比は他にもあり、例えば三辺の比が5:12:13や8:15:17のときも直角三角形ができる。 上で挙げた以外にも、直角三角形ができるような三辺の比が数多く(無数に)存在する。そう

          三平方の定理

          円周角と中心角

          円周角と中心角の関係の意味円を中心で切り分けるとおうぎ形ができる。 円周のうち、おうぎ形に属する部分(青色の実線で書かれている、点Aから点Bまでの部分の円周)をおうぎ形の弧という。弧の端点A,Bを用いて、$${\overgroup{AB}}$$と書き、弧ABと読む。 ただし、端点A,Bを持つおうぎ形および弧は二通りある。すなわち、実線で囲まれた赤色のおうぎ形以外にも、点線によって囲まれた灰色のおうぎ形が考えられる。長い方(点線)の弧を優弧、短い方(実線)の弧を劣弧と呼んで

          円周角と中心角

          図形の相似

          平面図形の相似と三角形の相似条件一方の図形を拡大または縮小したときに他方の図形と合同になる場合、二つの図形は相似であるという。 ここで、拡大、縮小の意味を明確にしておく必要がある。図形の拡大または縮小とは、図形上の任意の二点間の距離が一定の割合で増大または減少するように図形上の各点を移動させることである。 相似な図形の作図を考える。まずは拡大または縮小した図形の作図を考えよう。 図形上の任意の二点間の距離が一定の割合で増大または減少するように図形上の各点を移動させるには

          図形の相似

          図形の合同

          平面図形の合同と三角形の合同条件二つの図形があり、一方の図形を移動させて他方の図形に重ねられるとき、それらの図形は合同であるという。重なる線分の長さ及び角の大きさは等しいから、合同な図形の対応する辺の長さ及び角の大きさは等しい。 三角形の合同条件は以下の3通りである。 対応する3組の辺がそれぞれ等しい 対応する2組の辺がそれぞれ等しく、その間の角が等しい 対応する1組の辺が等しく、その両端の角がそれぞれ等しい 詳細な説明はめんどくさいので省略するが、一枚だけ図を載せ

          図形の合同

          基本的な平面図形と平行線の性質

          平行線や角の性質平面上において二つの直線が平行であるとは、二つの直線が交わらないことを意味する。ただし、直線は無限に延びているものとする。線分や半直線についても、それらを両側に無限に延ばして直線にしてから平行か平行でないかを考える。 この平行の定義は素朴で直観的であるが、無限性を考慮しなければならないため少し扱いにくい。平行かどうかをもっと簡単に調べられるようにしたい。それも無限を考えることなく。 ということで、平行線の性質を調べよう。決して交わらない二つの直線の間にはど

          基本的な平面図形と平行線の性質

          空間図形

          直線や平面の位置関係平行とか垂直とかそういう話である。空間図形において位置関係の把握は極めて重要である。 直線は両側に無限に延びているものとして考える。また、平面も無限に広がっているものとして考える。 空間上において直線と直線の位置関係は、交わる場合と交わらない場合に分けられる。 交わる場合、垂直な場合と垂直でない場合がある。 交わらない場合、平行な場合と平行でない場合がある。交わらず平行でない場合、二つの直線はねじれの位置にあるという。 直線と平面の位置関係は、直

          空間図形