１か月でファイナンシャルプランナー３級合格を目指す！～年金終価係数～

お味噌汁にはジャガイモが好きな、つなしろーです。

資金計画を立てるにあたり、「６つの係数」を使うことで必要な計算が可能らしいです。そのなかに、「年金終価係数」というものがあります。年金終価係数というのは、一定の金額を毎年積み立てて、一定の利率で運用したとき、数年後にいくらになっているかを計算するもの。

例えば、毎年10万円、2%の利率で積み立て運用するとします。
その積み立て金が10年後にいくらになっているか？を求めたいとき、
年金終価係数を使います。

利率2％で10年後の金額を求めるときの年金終価係数は「10.950」で、
毎年の積立金額にこの係数をかけると金額がでてきます。
積立金額が10万円だった場合、10万×10.950 = 109万5千円となります！
タンス貯金なら100万になるところ、利率2%で運用すると
9万5千円分増えるんですね！すごい！
試験では、この係数を提示してくれるので、何を求めるための係数かを
覚えておくとよいみたいです。

ふむ・・・

いやいや、そもそもなぜ、この係数の数字になるの？？10.950ってどっから来たの？？？この数字の謎を暴いてやる・・・！（理屈理解したいマン）

最初、積立金額の総額と運用で増えた分を合計してそれに利率をかけて・・・と考えていたのですが、ややこしすぎ。。断念。

ググってみると、おぉ！わかりやすい！というサイトが。
それをもとに自分なりに解釈したことを記載します。

この積み立ては、毎期末（年末）に開始したことを前提に考えているようです。例えば、2024年～2033年の10年間積み立てしようと考えたとき、最初に積み立てるのは、2024年12月31日。最後の積み立てるのは、2033年12月31日。

最初の２年を考えると、

●１年目の積立金（10万円）が2033年にどうなるか。
　　10万×（1 + 0.02)^9
　　※9回運用するので、9乗

●2年目の積立金（10万円）が2033年にどうなるか。
　　10万×（1 + 0.02)^8
　　※8回運用するので、8乗
　　・・・
●9年目の積立金（10万円）が、2033年にどうなるか。
　　10万×（1 + 0.02)^1
　　※9年目の積立金は、1年運用することとなり、1乗

●10年目の積立金（10万円）がどうなるか。
　　10万×（1 + 0.02)^0 = 10万
　　※10年目は2033年のことなので、10万円そのまま

上記、1年目から10年目の積立金運用金額を合計した値が
求めたい金額になるため、

10万×（1 + 0.02)^9 + 10万×（1 + 0.02)^8 + … + 10万×（1 + 0.02)^1 + 10万＝10万｛（1 + 0.02)^9 + （1 + 0.02)^8 + … + （1 + 0.02)^1 + 1｝

おや？｛｝の中の数式はもしや・・・

等比数列の和！！

ここで活かされるときがきたのか・・・数列の知識・・・！全国の高校生の皆さん。何のために数列なんて勉強してるんだ、と思っているそこの高校生の皆さん！

数列を理解していれば、金融系の業界に行くと役に立つかもしれない・・・！ありがとう、数列！！

等比数列についておさらい。
等比数列は、同じ数値をかけ続けてできる数列のことです。
例えば、
１、２、４、８、１６、３２・・・

この数列は、前の項に「２」をかけてますね。
１×２＝２
２×２＝４
４×２＝８
というふうに。
ここで、最初の項を初項といい、例題の初項は「１」です。
そして、何をかけ続けているのか、その数字を公比といいます。
例題の公比は「２」です。

では、今回の積み立て金についての計算における初項と公比は何でしょうか。
｛｝内の数式を思い出してみると、
（1 + 0.02)^9 + （1 + 0.02)^8 + … + （1 + 0.02)^1 + 1
でした。

今回は足し合わせている数式ですが、数列を足していると考え、
さらに「１」から始まると考えると、
・初項：１
・公比：（1 + 0.02) = 1.02
となります。
項数は、10項ですね。

今回、等比数列を初項から10項まで足し合わせているので、等比数列の和の公式が使えます。

【等比数列の和の公式】
初項×｛（公比^項数）- 1｝/ (公比 - 1)　※公比＞1の場合
（等比数列の和の公式が、なぜ↑になるかは、今回言及しません・・・）

・初項：１
・公比：（1 + 0.02) = 1.02
・項数：10
をあてはめると、

1 ×｛(1.02)^10 - 1｝/(1.02 - 1)
= (1.219 - 1) / 0.02
=10.950

！！！
さきほどの利率2％で10年後の金額を求めるときの年金終価係数は「10.950」
一致しました！！！

はー、スッキリ。
こんな感じで、「なぜ？」と突き詰めていくと、理解もできて楽しいです。

読んでいただきありがとうございました！また次回～。