複素数と二次曲線

$${w}$$を$${0}$$でない複素数、$${x,y}$$を$${w+\frac{1}{w}=x+yi}$$を満たす実数とする。
（１）実数$${R}$$は$${R>1}$$を満たす定数とする。$${w}$$が絶対値$${R}$$の複素数全体を動くとき、$${xy}$$平面上の点$${(x,y)}$$の軌跡を求めよ。
（２）実数$${\alpha}$$は、$${0<\alpha<\frac{\pi}{2}}$$を満たす定数とする。$${w}$$が偏角$${\alpha}$$の複素数全体を動くとき、$${xy}$$平面上の点$${(x,y)}$$の軌跡を求めよ。
                                                          （京都大学）

【解答】
（１）実数$${\theta~(0\leqq\theta<2\pi)}$$を用いて$${w}$$を極形式であらわすと$${w=R(cos\theta+isin\theta)}$$なので、

$$
x+yi=w+w^{-1}\\=R(cos\theta+isin\theta)+\frac{1}{R}\{cos(-\theta)+isin(-\theta)\}\\=R(cos\theta+isin\theta)+\frac{1}{R}(cos\theta-isin\theta)\\=(R+\frac{1}{R})cos\theta+(R-\frac{1}{R})isin\theta
$$

複素数の相等の定義より、係数比較して、

$$
x=(R+\frac{1}{R})cos\theta\\y=(R-\frac{1}{R})sin\theta
$$

$${R>1}$$より、$${R+\frac{1}{R}\ne0,~R-\frac{1}{R}\ne0}$$。また、三角関数の相互関係($${sin^2\theta+cos^2\theta=1}$$)より、

$$
\frac{x^2}{(R+\frac{1}{R})^2}+\frac{y^2}{(R-\frac{1}{R})^2}=1\\~\\(R+\frac{1}{R})-(R-\frac{1}{R})\\=\frac{2}{R}>0 ~(∵R>0)\\∴R+\frac{1}{R}>R-\frac{1}{R}
$$

これは、$${x}$$軸上に長径を持つ楕円を表している。
[答]:$${\underline{方程式\frac{x^2}{(R+\frac{1}{R})^2}+\frac{y^2}{(R-\frac{1}{R})^2}=1~(R+\frac{1}{R}>R-\frac{1}{R})を満たす楕円（の円周）。}}$$

（２）正の実数$${r}$$を用いて、$${w}$$を極形式で表すと$${w=r(cos\alpha+isin\alpha)~(r>0)}$$である。よって、

$$
x+yi\\=r(cos\alpha+isin\alpha)+\frac{1}{r}(cos\alpha-isin\alpha)\\=(r+\frac{1}{r})cos\alpha+(r-\frac{1}{r})isin\alpha
$$

係数比較して$${x=(r+\frac{1}{r})cos\alpha,~y=(r-\frac{1}{r})}$$より、

$$
r+\frac{1}{r}=\frac{x}{cos\alpha}\\r-\frac{1}{r}=\frac{y}{sin\alpha}
$$

各辺加算、減算して

$$
r=\frac{1}{2}(\frac{x}{cos\alpha}+\frac{y}{sin\alpha})\\\frac{1}{r}=\frac{1}{2}(\frac{x}{cos\alpha}-\frac{y}{sin\alpha})
$$

$${r･\frac{1}{r}=1}$$より

$$
\frac{1}{4}(\frac{x}{cos\alpha}+\frac{y}{sin\alpha})(\frac{x}{cos\alpha}-\frac{y}{sin\alpha})=1\\\frac{1}{4}(\frac{x^2}{cos^2\alpha}-\frac{y^2}{sin^2\alpha})=1\\\frac{x^2}{(2cos\alpha)^2}-\frac{y^2}{(2sin\alpha)^2}=1
$$

これは、焦点を$${x}$$軸上に持つ双曲線の方程式を示している。
ここで$${r>0}$$より、

$$
\frac{x}{cos\alpha}+\frac{y}{sin\alpha}>0\\\frac{x}{cos\alpha}-\frac{y}{sin\alpha}>0\\\frac{2x}{cos\alpha}>0
$$

$${0<\alpha<\frac{\pi}{2}}$$より、$${cos\alpha>0}$$。よって、$${x>0}$$である。

以上により、[答]:$${\underline{方程式\frac{x^2}{(2cos\alpha)^2}-\frac{y^2}{(2sin\alpha)^2}=1であらわされる双曲線のうち、}}$$
$${\underline{第I,IV象限の部分}}$$

【コメント】
後半の連立方程式の解き方に少々技巧を要します。
最後の象限の吟味もなかなかにデリケート。