無限等比級数の極限

$${n}$$は自然数とし、$${t>0}$$とする。
（１）次の不等式を示せ。

$$
(1+t)^n\geqq1+nt+\frac{n(n-1)}{2}t^2
$$

（２）$${0{<}r{<}1}$$とする。次の極限値を求めよ。

$$
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{(1+t)^n},~\lim_{n\to\infty}nr^n
$$

（３）$${x\neq-1}$$のとき、次の和$${S_n}$$を求めよ。

$$
S_n=1-2x+3x^2-4x^3+…+(-1)^{n-1}nx^{n-1}
$$

（４）$${0{<}x{<}1}$$のとき、極限値$${\lim_{n\to\infty}Sn}$$を$${A(x)}$$とおく。$${A(x)}$$を求めよ。さらに、極限値$${\lim_{n\to1-0}A(x)}$$を求めよ。
（大阪教育大）

【解答】
（１）
与えられた不等式$${(1+t)^n\geqq1+nt+\frac{n(n-1)}{2}t^2}$$を①とする。
(i)$${n=1}$$のとき
左辺は、

$$
(1+t)^1=1+t
$$

右辺は、

$$
1+1･t+\frac{1･0}{2}t^2=1+t
$$

より、①は成り立つ。

(ii)$${n=2}$$のとき、
左辺は、

$$
(1+t)^2=1+2t+t^2
$$

右辺は、

$$
1+2t+\frac{2･1}{2}t^2=1+2t+t^2
$$

より、①は成り立つ。

(iii)$${n\geqq3}$$のとき、
左辺は、二項定理より、

$$
(1+t)^n\\=\sum_{k=0}^{n}{}_{n}C_{k}t^k\\=1+nt+\frac{n(n-1)}{2}t^2+\sum_{k=3}^{n}{}_{n}C_{k}t^k
$$

ここで、$${t>0}$$より、任意の$${k~(k\geqq3)}$$について、$${{}_{n}C_{k}t^k>0}$$なので、

$$
1+nt+\frac{n(n-1)}{2}t^2+\sum_{k=3}^{n}{}_{n}C_{k}t^k>1+nt+\frac{n(n-1)}{2}t^2
$$

よって、

$$
(1+t)^n>1+nt+\frac{n(n-1)}{2}t^2
$$

したがって、①が成り立つ。

以上(i)(ii)(iii)より、任意の$${n}$$について①が成り立つ。[終]

（２）
$${(1+t)^n\geqq1+nt+\frac{n(n-1)}{2}t^2,~n>0}$$より、

$$
0<\frac{n}{(1+t)^n}\leqq\frac{n}{1+nt+\frac{n(n-1)}{2}t^2}\\\lim_{n\to\infty}\frac{n}{1+nt+\frac{n(n-1)}{2}t^2}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}+\frac{t}{n}+(1-\frac{1}{n})\frac{t^2}{2}}=0
$$

よって、「はさみうちの原理」により、

$$
\underline{\lim_{n\to\infty}\frac{n}{(1+t)^n}=0}・・・②
$$

$${t>0}$$のとき、$${0<\frac{1}{1+t}<1}$$より、$${r=\frac{1}{1+t}}$$とすると、②より

$$
\lim_{n\to\infty}nr^n=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{(1+t)^n}=0\\\underline{\lim_{n\to\infty}nr^n=0}・・・③
$$

（３）

$$
S_n=1-2x+3x^2-4x^3+…-(-1)^{n-1}(n-1)x^{n-2}+(-1)^{n-1}nx^{n-1}\\xS_n=x-2x^2+3x^3-4x^4+…-(-1)^{n-1}(n-1)x^{n-1}+(-1)^{n-1}nx^n\\(1+x)S_n=1-x+x^2-x^3+…+(-1)^{n-1}x^{n-1}+(-1)^{n-1}nx^n\\=\frac{1-(-x)^{n}}{1-(-x)}+(-1)^{n-1}nx^n\\=\frac{1+(-1)^{n-1}x^n+(-1)^{n-1}nx^n+(-1)^{n-1}nx^{n+1}}{1+x}\\=\frac{1+(-1)^{n-1}(n+1)x^n+(-1)^{n-1}nx^{n+1}}{1+x}\\\underline{S_n=\frac{1+(-1)^{n-1}(n+1)x^n+(-1)^{n-1}nx^{n+1}}{(1+x)^2}}
$$

（４）
③および$${0{<}x<1,~n\geqq1}$$より、

$$
-(n+1)x^n\leqq(-1)^{n-1}(n+1)x^n\leqq(n+1)x^n\\\lim_{n\to\infty}-(n+1)x^n=\lim_{n\to\infty}(n+1)x^n=0\\
$$

よって、「はさみうちの原理」により

$$
\lim_{n\to\infty}(-1)^{n-1}(n+1)x^n=0・・・④
$$

同様に、「はさみうちの原理」により

$$
-nx^{n+1}\leqq(-1)^{n-1}nx^{n+1}\leqq nx^{n+1}\\\lim_{n\to\infty}-nx^{n+1}=\lim_{n\to\infty}nx^{n+1}=0\\\lim_{n\to\infty}(-1)^{n-1}nx^{n+1}=0・・・⑤
$$

④⑤より、

$$
A(x)\\=\lim_{n\to\infty}S_n\\=\lim_{n\to\infty}\frac{1+(-1)^{n-1}(n+1)x^n+(-1)^{n-1}nx^{n+1}}{(1+x)^2}\\=\frac{1}{(1+x)^2}\\\lim_{n\to1-0}A(x)\\=\lim_{n\to1-0}\frac{1}{(1+x)^2}\\=\frac{1}{4}
$$

答:$${\underline{A(x)=\frac{1}{(1+x)^2},~\lim_{n\to1-0}A(x)=\frac{1}{4}}}$$

【コメント】
等差数列×等比数列では、「ずらしてひく（たす）」が常套手段です。