複素数の実部と虚部の表式

複素数の虚部を$${Im(z)}$$で表す。$${3}$$つの複素数$${z_1,z_2,z_3}$$の間に関係$${Im(z_2\overline{z_3})=Im(z_3\overline{z_1})=Im(z_1\overline{z_2})\neq0}$$が成り立つとき、$${z_1+z_2+z_3=0}$$であることを証明せよ。
                              （学習院大）

【前提】
一般に、$${a,b}$$を実数、$${i}$$を虚数単位とするとき、複素数$${\alpha=a+bi}$$に対し、複素数$${\overline\alpha=a-bi}$$を$${\alpha}$$に共役な複素数という。
また、複素数$${\alpha}$$の実部を$${Re(\alpha)}$$、虚部を$${Im(\alpha)}$$とするとき、$${\alpha+\overline\alpha}$$はつねに実数($${2a}$$)、$${\alpha-\overline\alpha}$$は常に純虚数($${2bi}$$)であり、$${Re(\alpha)=\frac{\alpha+\overline\alpha}{2},Im(\alpha)=\frac{\alpha-\overline\alpha}{2i}}$$が成り立つ。

【解答】
$${Im(z_1\overline{z_2})\neq0}$$より、$${z_1\neq0}$$であり、対称性より同様に、$${z_2\neq0,z_3\neq0}$$である。また、これらにより明らかに、$${\overline{z_1}\neq0,\overline{z_2}\neq0,\overline{z_3}\neq0}$$である。
$${Im(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}}$$であることに着目して、$${Im(z_2\overline{z_3})=Im(z_3\overline{z_1})}$$を変形すると、

$$
\frac{z_2\overline{z_3}-\overline{z_2\overline{z_3}}}{2i}=\frac{z_3\overline{z_1}-\overline{z_3\overline{z_1}}}{2i}\\z_2\overline{z_3}-z_3\overline{z_2}=z_3\overline{z_1}-z_1\overline{z_3}\\(z_1+z_2)\overline{z_3}=z_3(\overline{z_1}+\overline{z_2})
$$

ここで、$${z_3\neq0,\overline{z_3}\neq0}$$より、定数$${k}$$を用いれば、

$$
\frac{z_1+z_2}{z_3}=\frac{\overline{z_1}+\overline{z_2}}{\overline{z_3}}=k\\(z_1,\overline{z_1})=(kz_3-z_2,k\overline{z_3}-\overline{z_2})・・・①
$$

が得られる。$${Im(z_2\overline{z_3})=Im(z_1\overline{z_2})}$$より、同様に

$$
\frac{z_2\overline{z_3}-\overline{z_2\overline{z_3}}}{2i}=\frac{z_1\overline{z_2}-\overline{z_1\overline{z_2}}}{2i}\\z_2\overline{z_3}-z_3\overline{z_2}=z_1\overline{z_2}-z_2\overline{z_1}\\(z_1+z_3)\overline{z_2}=z_2(\overline{z_1}+\overline{z_3})・・・②
$$

①②より、

$$
(kz_3-z_2+z_3)\overline{z_2}=z_2(k\overline{z_3}-\overline{z_2}+\overline{z_3})\\(k+1)z_3\overline{z_2}-z_2\overline{z_2}=(k+1)z_2\overline{z_3}-z_2\overline{z_2}\\(k+1)(z_2\overline{z_3}-z_3\overline{z_2})=0・・・③
$$

ここで、$${z_2\overline{z_3}\neq0}$$より、

$$
z_2\overline{z_3}-\overline{z_2\overline{z_3}}\neq0\\z_2\overline{z_3}-z_3\overline{z_2}\neq0・・・④
$$

③④より

$$
k+1=0\\k=-1・・・⑤
$$

①⑤より

$$
z_1+z_2+z_3=0~~\underline{証明終}
$$

【コメント】
共役複素数の操作を通じて、実部と虚部を取り出しました。
はじめのうちは$${\alpha=a+bi}$$と具体化したり、複素数平面上の具体的な点を想定したりすると飲み込みやすいと思います。