２直線のなす角

正の数$${a}$$に対して、放物線$${y=x^2}$$上の点$${A(a,a^2)}$$における接線を、$${A}$$を中心に$${-30\degree}$$回転した直線を$${l}$$とする。$${l}$$と$${y=x^2}$$との交点で$${A}$$でない方を$${B}$$とする。更に点$${(a,0)}$$を$${C}$$、原点を$${O}$$とする。このとき、$${l}$$の方程式を求めよ。また、線分$${OC,CA}$$と$${y=x^2}$$で囲まれる部分の面積を$${S(a)}$$、線分$${AB}$$と$${y=x^2}$$で囲まれる部分の面積を$${T(a)}$$とするとき、$${c=\lim_{a\to\infty}\frac{T(a)}{S(a)}}$$を求めよ。
                              （東京工大)

【解答】
点$${A}$$における接線の傾きは、$${(x^2)'=2x}$$に$${x=a}$$を代入して、$${2a}$$。この接線が$${x}$$軸となす角を$${\theta~(0\degree\leqq\theta<180\degree)}$$とすると、$${\tan\theta=2a}$$。ここで、直線$${l}$$が$${x}$$軸となす角は$${\theta-30\degree}$$なので、

$$
\tan(\theta-30\degree)\\=\frac{\tan\theta-\tan30°}{1+\tan\theta\tan30°}\\=\frac{2a-\frac{1}{\sqrt3}}{1+2a\frac{1}{\sqrt3}}\\=\frac{2\sqrt3a-1}{2a+\sqrt3}
$$

よって、求める方程式は

$$
\underline{l:y=\frac{2\sqrt3a-1}{2a+\sqrt3}(x-a)+a^2}
$$

点$${B}$$の$${x}$$座標を$${b}$$とすると、

$$
x^2-\{\frac{2\sqrt3}{2a+3}(x-a)+a^2\}=(x-a)(x-b)\\a+b=\frac{2\sqrt3}{2a+3}\\b=\frac{2\sqrt3}{2a+3}-a・・・①
$$

ここで、

$$
S(a)=\int_0^ax^2dx=\frac{1}{3}a^3\\T(a)=\int_b^a\{\frac{2\sqrt3a-1}{2a+\sqrt3}(x-a)+a^2-x^2\}dx\\=\int_b^a\{-(x-a)(x-b)\}dx\\=\frac{1}{6}(a-b)^3
$$

よって、

$$
c=\lim_{a\to\infty}\frac{(a-b)^3}{2a^3}\\=\lim_{a\to\infty}\frac{1}{2}\{1-(\frac{b}{a})^3\}\\=\lim_{a\to\infty}\frac{1}{2}\{1-(\frac{2\sqrt3-\frac{1}{a}}{2a+3}-1)^3\}\\=\frac{1}{2}･2^3\\=4
$$

答:$${\underline{c=4}}$$

【コメント】
$${2}$$直線のなす角は、$${x}$$軸となす角を橋渡しにして、$${\tan}$$の加法定理で処理するのが常套手段です。