複素数のとりあつかい

$${\alpha}$$を複素数とする。等式

$$
\alpha(|z|^2+2)+i(2|\alpha |^2+1)\overline z=0
$$

を満たす複素数$${z}$$を求めよ。ただし、$${i}$$は虚数単位である。
                                                                                        （九州大学・理系）

【解答】

任意の複素数$${\alpha ,z}$$に対して、$${|z|^2+2,2|\alpha |^2+1}$$はいずれも実数であり、特に、$${|\alpha |^2\geqq 0}$$より、$${2|\alpha |^2+1\neq 0}$$である。よって、

$$
\overline z =\frac {-\alpha (|z|^2+2)}{i(2|\alpha|^2+1)}=\frac {|z|^2+2}{2|\alpha|^2+1}i\alpha
$$

ここで、$${\frac {|z|^2+2}{2|\alpha|^2+1}=k}$$($${k}$$は実数)とすると、

$$
\overline z =ki\alpha
$$

$$
z=\overline {\overline z}=\overline{ki\alpha}=\overline {ki}\overline \alpha=-ki\overline\alpha
$$

$$
|z|^2=z\overline z=k^2\alpha\overline\alpha=k^2|\alpha|^2
$$

と表せる。これらをもとの式$${\alpha(|z|^2+2)+i(2|\alpha |^2+1)\overline z=0}$$に代入すると、

$$
\alpha(k^2|\alpha|^2+2)+i(2|\alpha|^2+1)ki\alpha=0
$$

$$
\alpha(k^2|\alpha|^2+2-2k|\alpha|^2-k)=0
$$

$$
\alpha\{k|\alpha|^2(k-2)-(k-2)\}=0
$$

$$
\alpha(k-2)(k|\alpha|^2-1)=0
$$

よって、$${\alpha=0}$$または$${k-2=0 }$$または$${k|\alpha|^2-1=0}$$が成り立てばよい。

(i)$${\alpha=0}$$のとき
もとの式$${\alpha(|z|^2+2)+i(2|\alpha |^2+1)\overline z=0}$$より、$${\overline zi=0}$$よって、$${z=0}$$。

(ii)$${k-2=0}$$ すなわち$${k=2}$$のとき
$${z=-ki\overline\alpha}$$より、$${z=-2i\overline\alpha}$$。

(iii)$${k|\alpha|^2-1=0}$$ すなわち$${k=\frac{1}{|\alpha|^2}}$$のとき

$${z=-ki\overline\alpha }$$より、$${z=-\frac{1}{|\alpha|^2}i\overline\alpha=-\frac{i\overline\alpha}{\alpha\overline\alpha}=-\frac{i}{\alpha}}$$。

以上、(i)～(iii)より、
【答】 $${\alpha=0}$$のとき$${z=0}$$
            $${\alpha \neq 0}$$のとき$${z=-2i\overline\alpha,-\frac{i}{\alpha}}$$

【コメント】
任意の複素数$${z}$$について、$${|z|^2(z\overline{z})}$$が実数となることに着目し、実数部分を切り分けるのがポイントでした。