アルキメデスの取り尽くし法による放物線の求積

前回ピタゴラスは $${\sqrt 2}$$ が数の比（有理数）にならないかと夢見て取り尽くし法でチャレンジし、夢は散り果てました
しかし取り尽くし法を用いたのはピタゴラスだけではありませんでした
ユークリッドの『原論』を頂点とした様々な数学が花開いていました

アルキメデスの放物線の求積問題もその一つです
当時はもちろん積分はありませんでした
だから求める方法といえば取り尽くし法だったのです

はじめアルキメデスがこの関係に気がついたのは天秤による実験でした

この推測を確かめるために取り尽くし法による論証に入ったのです
まず最初に気がつくことは放物線を区切った線分ABに平行な線分PQをとるとどこにとっても中点RはABの中点MとABに平行で放物線に接する接線の接点Cを結んだ線分上にあることです

次にこの点Cを使った三角形ABCを使って放物線の部分を取り尽くしてみましょう

最初に『あ』
の部分を取り尽くしたとして、次に△ACDである『い』の部分を取り尽くすことを考えます
（線分BC側にも同じことができます）

図１

すると図１より面積の関係は『う』=2×『い』

図2

図2より『え』=2×『う』=4×『い』

図３

図３より『お』=『え』=4×『い』
『あ』=2×『お』だから
したがって『あ』=8×『い』が成り立ちます

最初に述べたように反対側でも同じようなことが考えられるので
元の1つの三角形『あ』に対して $${\displaystyle\frac{1}{4}}$$ の三角形を取り尽くすことができます

同じように考えると『い』の面積の $${\displaystyle \frac{1}{8}}$$ の大きさの三角形が4つできるので、
4つの三角形の面積の和は『あ』の$${\displaystyle 4 \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{8}=\frac{1}{16}}$$ となります

したがって、放物線の部分の面積は
　△ABC$${\displaystyle \times \left( 1+\frac{1}{4} +\frac{1}{16}+\cdots\cdots\right)}$$

さてカッコの中はどう求めましょうか

図を見てひらめいた人は凄い！
青だけ足しても、白だけ足しても、オレンジだけ足してもどれでも
　$${\displaystyle \frac{1}{4} +\frac{1}{16}+\frac{1}{64} + \cdots\cdots}$$
になるのです
『$${\displaystyle \frac{1}{4} +\frac{1}{16}+\frac{1}{64} + \cdots\cdots}$$』3つ分が1なので（そして取り尽くされるので！）

　$${\displaystyle \frac{1}{4} +\frac{1}{16}+\frac{1}{64} + \cdots\cdots=\frac{1}{3}}$$

　放物線の部分の面積
=△ABC$${\displaystyle \times \left( 1+\frac{1}{4} +\frac{1}{16}+\cdots\cdots\right)}$$
=△ABC$${\displaystyle \times \left( 1 + \frac{1}{3}\right)}$$
=$${\displaystyle \frac{4}{3}}$$△ABC

このようにして実験で得た結果を取り尽くし法という手段で証明したのです