偶数・奇数の不思議＃１２

（２より大きい）偶数は２つの素数の和で表せる（ゴールドバッハ予想）、（５より大きい）奇数は３つの素数の和で表せる（弱いゴールドバッハ予想）、など任意の自然数は２個か３個の素数の和で表せる。特に、ゴールドバッハ予想はいまだに未解決だ。興味ある読者は検索すれば多くのサイトで詳細な説明がわかる。ちなみに、隣り合う平方の間には素数が存在する（ルジャンドル予想）のほうも未解決問題。
偶数が２つの素数で表せる、ならば弱いゴールドバッハ予想も正しい。単純化した証明は以下のようになる。３つの数の和が「奇数」になる組み合わせは、（１）奇数＋奇数＋奇数 か　（２）偶数＋偶数＋奇数　しかない。例えば、奇数が２つと偶数の組み合わせだと、3+5+4 = 12と偶数になってしまう。（１）のケースを考える。奇数＋奇数は偶数だ、そしてゴールドバッハ予想（Ｇ予想）が正しいと仮定しているので、偶数は２つの素数P1, P2 の和で書ける。このP1,P2は奇素数でなければならない、なぜなら例えばP1が2だとするとP2は２以外の素数なのでP1+P2は奇数となってしまう（P2が２だとすると５より大きくはならなくなる）。P1,P2は奇素数の組み合わせで、３つ目の奇数K3を考えると、例えば、P1 + K3はやはり偶数となり、Ｇ予想から２つの素数の和で書けるはずなので、K3も素数ということになる。P2についても同様。よって、５より大きい奇数は３つの素数の和で表せることになる。
（２）のケースもほとんど同じ。最初の偶数＋偶数はやはり偶数だ。これをＥとする。ＥはＧ予想からP1, P2 の和で書けることになる。そしてP1, P2は奇素数でなければならないので（１）のケースと同じ方針で説明が可能となる。具体的に書くと１５＝４＋６＋５としよう。最初の偶数＋偶数のところが４＋６＝１０だ、これは３＋７と奇素数の和で書ける。よって、１５＝３＋７＋５で３つの素数の和で書ける。

prolog によるプログラム
% 任意の自然数Nは2つか3つの素数の和で書ける

prime_list([2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,
           37,41,43,47,53,57,61,67,71,73,79,83,89,97]).

show :-
    s_aux(4),!.

s_aux(101) :- !.
s_aux(N) :-
    write(N),write(':'),
    show_2(N),show_3(N),
    M is N + 1,
    s_aux(M).
show_2(N) :-
    prime_list(L),
    member(X,L),
        member(Y,L), X >= Y,
            N is X + Y, write(X),write('+'),write(Y),nl,fail.
show_2(N) :- !.
show_3(N) :-
    prime_list(L),
    member(X,L),
        member(Y,L),
            member(Z,L),
            X >= Y, Y >= Z,
        N is X + Y + Z, write('   '),write(X),write('+'),write(Y),write('+'),write(Z),nl,fail.
show_3(N) :- !.

実行結果：
4:2+2
5:3+2
6:3+3
   2+2+2
7:5+2
   3+2+2
8:5+3
   3+3+2
9:7+2
   3+3+3
   5+2+2
10:5+5
7+3
   5+3+2
11:   5+3+3
   7+2+2
12:7+5
   5+5+2
   7+3+2
13:11+2
   5+5+3
   7+3+3
14:7+7
11+3
   7+5+2
15:13+2
   5+5+5
   7+5+3
   11+2+2