６歳の子供に説明できなければ、理解したとはいえない＃４

１辺が２の４次元の立方体の体積は？これを、「習っていないからわからない」と答えるあなたは全く何もわかっていない、面積や体積の意味とやらが。

三角形の面積を縦×横÷２とか覚えさせられたらイヤになる。どこから２が出てきたんだとか。

まず、四角形の面積というものを考えてみる。表題の３×４の四角形。3×4=12とすぐにかけ算をしてもいいが、足し算しか知らない場合、どうするか。真ん中の図の下の３つのブロックを考える。３つのブロックが上に４つ積み重なっている。３＋３＋３＋３＝１２ということだ。

三角形の下の辺（底辺といったりするが）が３で縦が４のもの（一番右の図の青色部分）を知りたいとき、もう一つ三角形を用意する。もう一つとは、一番右の図を四角形とみたときに左側の白部分の三角形のこと。こうすれば、問題は三角形の話ではなくなり、四角形の話だ。つまり、3×4=12の四角形の半分が三角形の面積になる。なので6だ。これを底辺（３）かける高さ（４）割る２で６という計算をさせようとするからバイバイになってしまう。

正方形や長方形のような角が直角でない場合どうするか（平行四辺形など）これも、下図の細い線のような線を引いて考えれば、左にできた三角形を右側にくっつけると結局、四角形ができるので同じように3×4=12のように計算できる（学校では底辺かける高さと習うが同じこと）。三角形でも同じように、２つくっつけて四角形のならない場合、いったん、このような平行四辺形にして、四角形にして三角形が２つできるので、２で割る、ということをすればよい。
その下の図はいわゆる三平方の定理（ピタゴラスの定理）。たくさんのサイトで説明しているのでここでは詳しく説明しないが、ピンク色の面積が等しい、ということ。左の図はa×a, b×bの面積に４つの三角形がくっついている。右にもおなじ４つの三角形がくっついている。両方の正方形の面積は同じなので、左のピンクと右のピンク（c×c)が同じ、つまり、a^2+b^2=c^2ということ。

同様に体積も説明できる。面白くないのでいきなり４次元の立方体の体積を考えてみる。１辺が２の四角形の面積は2×2=4, １辺が2の立方体の体積は2×2×2=8となる。では、１辺が2の４次元立方体の体積（４次元超立方体の超体積）は？2×2×2×2=16 だ。図示できないが、３次元体積の類推でそう計算してしまう。しかも正しい。５次元も６次元も同じ。これであなたも想像上の幾何学の超体積を計算できる数学者の仲間入り。
※４次元の場合、列車がつながっているイメージでもよい。つながっている方向が時間軸。2×2×2=8の体積の車両が時間方向に２つ連結されているので、8×2=16ということになる。