偶数と奇数の不思議＃９「ウォリスの公式」

偶数の積と奇数の積がきれいに並ぶWallisの公式の紹介。ライプニッツ級数でも円周率がでてきたがここでも登場する。
証明しているサイトはいくつもあるので詳しくはそちらも参照してください。ここでは概要のみ紹介。三角関数 sin x が０になるのは、±π、±2π、±3π… のようにπの整数倍なので、それを解に持つ因数分解のように展開できて（１）式のように書ける。なんか難しいことをいっているような気持ちになるかもしれないが、例えば、x^2 - 1 = 0 の解はｘ＝±１だ。なので、x^2 -1 = (x+1)(x-1) のように因数に分解できて、x+1が０になるにはx=-1, x-1=0 ならば x=1 ということに相当する。そんなに難しくはないでしょ？
x=π/2 を（１）式に代入すると sin π/2 つまり、角度でいうと90度なのでこれは1となる。なので（２）式の一番左は１。あとは順次、ｘにπ/2を代入していくと、（２）式のようになる。きれいですね～。（２）式の両辺を見比べて、右辺のπ/2以降の括弧部分をそのまま左辺にもっていく（つまり、括弧部分で両辺を割る）と（１）式の完成！