偶数の不思議＃６（完全数、メルセンヌ素数）

奇数の完全数はない、と証明されていないのでタイトルがおかしいが、偶数の話として進める。といっても、素数好きとしては偶数はあまり興味がないのだが、この完全数に関しては２の倍数×メルセンヌ素数で表現できる、ということなので「素数」が現れている。

完全数とは、自分より小さい約数の和が自分に等しい数のことである。例えば、６の約数は{1,2,3,6} で6より小さい約数の和は 1+2+3 = 6 となるので完全数。28は{1,2,4,7,14,28} なので、1+2+4+7+14 = 28 となり、完全数。簡単に見つかりそうだがものすごく難しい問題で、今までにたったの51個しか見つかっていないとのことだ。

N=2^(n-1)×(2^n-1)において(2^n-1)が素数のときNは完全数となる証明は等比数列の和などを使ってそれほど難しくなく説明できる。(2^n-1)の形の素数はメルセンヌ素数と呼ばれている。2021年の現時点で見つかっている最大の素数はメルセンヌ素数で51番目とのことだ。メルセンヌ素数が見つかれば自動的に完全数も見つかることになる。