サルでもわかるポアソン分布と指数分布の違い
【起】はじめに
よく参考書などで指数分布はイベントの発生間隔に着目しており、ポアソン分布はイベントの発生回数に着目しているというふうに下記のサイトでの解説のように定性的に語られているが数式で解説しているものは少ないと思う
https://bellcurve.jp/statistics/course/8009.html
そこで今回は２つの分布の違いを数式で解説していこうと思う
【承】ポアソン分布と指数分布の一般的に語られている違い
一般的に言われている定性的な理解を確認し深めていこうと思う。
まず仮定として、単位時間において前回の発生には関係のない平均で$${\lambda}$$回イベントがランダムに発生する確率過程を考える
ポアソン分布とは
単位時間にイベントが起きる回数は平均分散が共に$${\lambda}$$のポアソン分布に従う
$$
P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
$$
指数分布とは
イベントの発生間隔は平均$${\frac{1}{\lambda}}$$時間の指数分布に従う
$$
F(t) = 1 - e^{\lambda t}
$$
つまり
時間を１にして発生回数の式を立てているか
イベントの発生回数を１にして発生時間の式を立てているか
の違いしかない
【転】ポアソン分布と指数分布の数式解釈
双方の確率分布を導出するにあたって、単位時間において前回の発生には関係のない平均で$${\lambda}$$回イベントがランダムに発生する確率過程を考えていることに注意
【結】まとめ
実は両方の確率分布で同じ状況下を考えていることに気づいたであろうか。単位時間において前回の発生には関係のない平均で$${\lambda}$$回イベントがランダムに発生する確率過程を今回は考えており、これは特にポアソン過程と呼ばれている
単位時間において前回の発生には関係のない平均で$${\lambda}$$回イベントがランダムに発生するポアソン過程において
発生間隔の時間の式を立てているか
発生回数の回数の式を立てているか
ここを意識すれば式の使い分けなど悩まなくなること間違いなし